|
Teljes indukcióval látjuk be, hogy <math>\chi(G_k)=k</math>. <math>k=2</math>-re az állítás egyértelmű. Tegyük fel, hogy az állítás igaz <math>k</math>-ra. Indirekt belátjuk, hogy ekkor <math>\chi(G_{k+1})=k+1</math>. <math>G_{k+1}</math> színezhető jól <math>k+1</math> színnel a következő módon: Kiszínezzük a <math>G_k</math>-beli <math>v_i</math> csúcsokat <math>k</math> színnel jól (az indukciós feltevés miatt ez lehetséges), majd minden <math>u_i</math>-t <math>v_i</math> színére és <math>w</math>-t pedig a <math>(k+1)</math>-edik színnel. Azt kell tehát belátni, hogy erre a <math>k+1</math> színre szükség is van. Mivel <math>G_{k+1}</math> részgráfként tartalmazza a <math>k</math>-kromatikus <math>G_k</math> gráfot, <math>\chi(G_{k+1})</math> nem lehet kisebb <math>k</math>-nál. Tegyük fel indirekt, hogy <math>\chi(G_{k+1})=k</math>.
A színeket 1,2,...…,<math>k</math>-val, <math>x</math> csúcs színét <math>c(x)</math>-szel jelöljük. Feltehetjük, hogy <math>c(w)=k</math>. Mivel minden <math>u_i</math> szomszédos <math>w</math>-vel, minden <math>u_i</math> csúcs színe az 1,2,...…,<math>k-1</math> színek valamelyike lehet. Tekintsük a <math>v_i</math> csúcsok által feszített részgráfot, ez <math>G_k</math>-val izomorf. Most megadjuk a <math>v_i</math> csúcsok egy új, <math>c'</math> színezését, mely csak az 1,2,...…,<math>k-1</math> színeket tartalmazza. <math>c(v_i)=k</math> esetén legyen <math>c'(v_i)=c(u_i)</math>, minden más esetben <math>c'(v_i)=c(v_i)</math>. Azoknál az éleknél, melyek végpontjainak színét nem változtattuk meg, nem lehet probléma. Azon <math>v_i</math> csúcsoknak, melyekre <math>c(v_i)=k</math> teljesül, nincs olyan <math>v_j</math> szomszédja, melyre <math>c(v_j)=k</math>, mert <math>c</math> egy jó színezés volt. Ekkor <math>c'(v_j)=c(v_j)</math> <math>v_i</math> minden <math>v_j</math> szomszédjára teljesül. Gond csak akkor lehet, ha <math>c(u_i)=c'(v_i)=c'(v_j)=c(v_j)</math>. <math>c(u_i)=c(v_j)</math> azonban nem teljesül, mert ha <math>v_i</math> és <math>v_j</math> szomszédosak, akkor <math>u_i</math> és <math>v_j</math> is, <math>c</math> pedig jó színezés. Tehát a <math>v_i</math> csúcsok színezhetőek jól úgy, hogy csak az 1,2,...…,<math>k-1</math> színeket használjuk. Ez viszont ellentmond annak, hogy a <math>v_i</math> csúcsok <math>G_k</math>-val izomorf feszített részgráfja k-kromatikus. Emiatt <math>\chi(G_{k+1})>k</math>. Ebből és <math>\chi(G_{k+1})<=k+1</math>-ből az következik, hogy <math>\chi(G_{k+1})=k+1</math>.
A fenti tételnek a következménye, hogy a kromatikus számra nem adható felső becslés a klikkszám segítségével.
|
