Wikipédia

„Stirling-formula” változatai közötti eltérés

Laptörténet interaktív böngészése
(Összes ellenőrzésre váró szerkesztés megjelenítése)
[nem ellenőrzött változat][nem ellenőrzött változat]
← Régebbi szerkesztésÚjabb szerkesztés →
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
VizuálisWikiszöveges
Gery (vitalap | szerkesztései)
42 szerkesztés
Nincs szerkesztési összefoglaló
Gery (vitalap | szerkesztései)
42 szerkesztés
Nincs szerkesztési összefoglaló
12. sor:
 
== Története ==
[[James Stirling]] skót matematikus az 1730-as Methodus Differentialis című művében mutatta be a logaritmusfüggvénnyel kapcsolatos összegzési eredményeit. Állítása szerint a <math>\log 1 + \log 2 + ... + \log n = \log n!\,\!</math> kifejezés értéke a következő sor első három vagy négy tagjának felhasználásával megkapható (ahol ''log'' a [[Logaritmus|természetes logaritmus]] függvény):
 
<center><math>\left( {n + \frac{1}{2}} \right)\log \left( {n + \frac{1}{2}} \right) - \left( {n + \frac{1}{2}} \right) + \frac{1}{2}\log \left( {2\pi } \right) - \frac{1}{{24\left( {n + \frac{1}{2}} \right)}} + \frac{7}{{2880\left( {n + \frac{1}{2}} \right)^3 }} - ...</math></center>
92. sor:
 
==A Stirling formula konvergens változata==
[[1763]]-ban [[Thomas Bayes]] mutatta meg, egy levelében [[John Canton]]nak, aírt [[Royallevelében Society]]bizonyította által publikálva [[1763]]-banbe, hogy a Stirling-sor nem ad konvergens sorfejtést a faktoriálisra.[http://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/letter.pdf]
 
A Stirling-formula egy konvergens változatának megtalálásáhozmeghatározásához a következőtkövetkező kellösszefüggést kiszámítanunkalkalmazhatjuk:▼
 
▲A Stirling-formula konvergens változatának megtalálásához a következőt kell kiszámítanunk:
:<math>\int_0^\infty \frac{2\arctan \frac{t}{z}}{\exp(2 \pi t)-1}\, dt
= \lnlog\Gamma (z) - \left( z-\frac12 \right) \lnlog z +z - \frac12\lnlog(2\pi). </math>
 
EgyikCélba módja ennekérünk, ha konvergens sor segítségével állítjuk elő az integrált. Ha <math>z^{\overline n} = z(z+1) \cdots (z+n-1)</math>, akkor
 
:<math>\int_0^\infty \frac{2\arctan \frac{t}{z}}{\exp(2 \pi t)-1} \, dt
= \sum_{n=1}^\infty \frac{c_n}{(z+1)^{\overline n}}</math>
 
ahol
 
:<math> c_n = \frac{1}{n} \int_0^1 x^{\overline n} \left( x-\frac12 \right) \, dx.\frac{1}{{2n}}\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{k\left| {s(n,k)} \right|}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}},</math>
Ebből a Stirling-formula következő változatát nyerjük▼
 
:<math>\ln \Gamma (z) = \left( z-\frac12 \right) \ln z -z + \frac{\ln {2 \pi}}{2} </math>▼
▲ahol <math>{s\left( {n,k} \right)}</math> az [[Elsőfajú Stirling-számok]]at jelöli. Ebből a Stirling-formula következő változatát nyerjük
:::<math>{} + \frac{1}{12(z+1)} + \frac{1}{12(z+1)(z+2)} + \frac{59}{360(z+1)(z+2)(z+3)} + \frac{29}{60(z+1)(z+2)(z+3)(z+4)} + \cdots</math>▼
 
▲:<math>\lnlog \Gamma (z) = \left( z-\frac12 \right) \lnlog z -z + \frac{\lnlog {2 \pi}}{2} </math>
▲:::<math>{} + \frac{1}{12(z+1)} + \frac{1}{12(z+1)(z+2)} + \frac{59}{360(z+1)(z+2)(z+3)} + \frac{29}{60(z+1)(z+2)(z+3)(z+4)} + \cdots,</math>
 
ami konvergens, ha <math>\Re(z)>0</math>.
 
== A faktoriális logaritmusa ==
 
[[Kép:Stirling's Approximation Small.png|bélyegkép|jobbra250px|A relatív hiba (lnlog x!) és (x lnlog x – x) között x növekedtével 0-hoz tart.]]
A faktoriális logaritmusának közelítő értékét megadó képletet is Stirling-formulának nevezik, és a következőt mondja ki:
 
::<math>\lnlog n! \approx n \lnlog n - n \,</math>
 
minden elég nagy természetes ''n'' számra, ahol ''lnlog'' a [[Logaritmus|természetes logaritmus]] függvény.
 
== Lásd még ==
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/wiki/Stirling-formula”