Wikipédia

„A Thalész-tétel megfordítása” változatai közötti eltérés

Laptörténet interaktív böngészése
[nem ellenőrzött változat][nem ellenőrzött változat]
← Régebbi szerkesztésÚjabb szerkesztés →
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
VizuálisWikiszöveges
Peti610bot (vitalap | szerkesztései)
51 382 szerkesztés
a Bot: Átirányítások javítása
aNincs szerkesztési összefoglaló
1. sor:
'''A [[Thalész-tétel]] [[tétel megfodításamegfordítása|megfordítása]]''' a [[matematika|matematikában]] a [[geometria]] egyik tétele; többféleképp is [[#Egyszerűbb megfogalmazásai|megfogalmazható]].
 
== Egyszerűbb megfogalmazásai ==
 
[[Kép:Thaleszreverz.png|jobbra|bélyegkép|300px| A Thalész-tétel megfordítása szerint ha a γ szög derékszöderékszög, akkor A,B,C is rajta van az F középpontú [[kör]]ön]]
 
# Ha egy háromszög [[derékszögű háromszög|derékszögű]], akkor három csúcsa olyan körön van, melynek [[átmérő]]je az átfogó.
# A derékszögű háromszög [[a háromszög köréírható köre|köré olyan kör írható]], melynek középpontja az átfogó felezőpontja).
# (A kör definícióját alkalmazva): ha egy háromszög derékszögű, akkor leghosszabb oldalának (átfogójának) felezőpontjától az összes csúcspont egyenlő távolságra esik <ref>Megjegyzés: Thalész tételéből követlezőenkövetkezően semmilyen más &gamma; szög esetén nem esik a köréírható kör középpontja a háromszög oldalaira ([[szög|tompaszög]] esetén „a háromszögön kívülre”, [[szög|hegyesszög]] esetén „a háromszögön belülre” esik).</ref>
# Ha az átmérő egy C pontból derékszögben látszik, akkor C a köríven van (de nem az átmérőn). Vagy elegánsabban foglamazvafogalmazva: Csak a köríven lévő pontokból látszódhat az átmérő derékszög alatt.
 
Megjegyzés: Egy, az AB szakaszon kívül lévő P pontból az AB szakasz α nagyságú szögben látszik, ha az ABP háromszög P-nél lévő belső szöge éppen α.
28. sor:
A Thalész-tétel megfordítása tehát ez lesz:
: '''Ha''' az átmérő egy C pontból derékszögben látszik, '''akkor''' C a köríven van (de nem az átmérőn).
Vagy elegánsabban foglamazvafogalmazva:
:Csak a köríven lévő pontokból látszódhat az átmérő derékszög alatt.
 
Már [[Eukleidész]] is tudta, hogy a Thalész-tétel ''megfordítható'', azaz a tétel megfordítása bizonyítható:
 
== Bizonyítások ==
39. sor:
*'''Tétel''' – ''A Thalész-tétel megfordítása'' – Legyen egy kör átmérője ''AB''. Ha egy ''C'' pontból ''AB'' derékszögben látszik, akkor ''C'' a körön van.
 
''Bizonyítás.'' Az egyik lehetséges bizonyításhoz tekintsük a mellékelt ábrát, melyen T az ABCΔ átfogóhoz tartozó magasságának talppontja, mely x távolságra van az átfogó O felezőpontjától. Azt kell belátnunk, AO=OB=OC. így a Thalész-tétel [[Pithagorasz-tétel]] megfordításának felhasználásával történő bizonyítására. Ebben az esetben a következőket tudjuk (a CTBΔ és ATCΔ és ABCΔ derékszögű háromszögekre a [[Pitagorasz-tétel]]t felírva
:(r + x)<sup>2</sup> + m<sup>2</sup> = b<sup>2</sup>
:(r - x)<sup>2</sup> + m<sup>2</sup> = a<sup>2</sup>
54. sor:
vagyis az ''OC'' szakasz éppen ''r'' (sugárnyi) hosszúságú, így ''C'' a körön van. [[Quod erat demonstrandum|QED]]
 
''Megjegyzés.'' Az O = T eset triviális (ekkor ACBΔ egyenlőszárúegyenlő szárú derékszögű háromszög, a CT = CO a derékszöghöz tartozó szögfelezője, mely a háromszöget két szintén egyenlőszárúegyenlő szárú derékszögű háromszögre vágja szét, a szárak AO és OC, illetve OB és OC ez esetben szintén egyenlőek).
 
== Források ==
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/wiki/A_Thalész-tétel_megfordítása”