Wikipédia

„Inverz hiperbolikus függvények” változatai közötti eltérés

Laptörténet interaktív böngészése
[nem ellenőrzött változat][nem ellenőrzött változat]
← Régebbi szerkesztésÚjabb szerkesztés →
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
VizuálisWikiszöveges
VolkovBot (vitalap | szerkesztései)
107 919 szerkesztés
Qorilla (vitalap | szerkesztései)
450 szerkesztés
Javítás, átdolgozás, kiegészítés
1. sor:
[[Kép:Arcsinh function.png|bélyegkép|200px|jobbra|Az ''arsinharsh'' (area hiperbolikus szinusz) függvény]]
[[Kép:Arccosh function.png|bélyegkép||200px|jobbra|Az ''arcosharch'' (area hiperbolikus koszinusz) függvény]]
[[Kép:Area tangent.svg|bélyegkép|200px|jobbra|Az ''artanharth'' (area hiperbolikus tangens) függvény]]
[[Kép:Arccoth function.png|bélyegkép|200px|jobbra|Az ''arctgharcth'' (area hiperbolikus kotangens) függvény]]
Az '''inverz hiperbolikus függvények''' – más néven ''area hiperbolikus függvények'' – a [[hiperbolikus függvények]] [[inverz függvény|inverz]]ei.
A [[hiperbolikus függvények]] [[inverz függvény|inverz]]ei az úgynevezett '''area hiperbolikus függvények'''. Nevüket onnan kapták, hogy értékük az <math>x^{2} - y^{2} = 1</math> hiperbola alatti területtel egyenlő, hasonlóan ahogy az szögfüggvények inverzei a <math>x^{2} + y^{2} = 1</math> egységsugarú kör egy körcikkének az ívhosszát számítják.
Az ''area'' név onnan ered, hogy értékük – ha valós – megegyezik a derékszögű koordinátarendszerben felrajzolt <math>x^{2}-y^{2}=1</math> hiperbola, valamint két – az argumentumtól függő – origón átmenő, ellentett meredekségű egyenes által határolt terület nagyságával.
:''Megjegyzés:'' Ugyanez az inverz trigonometrikus függvényekről is elmondható, azzal a különbséggel, hogy ott az <math>x^{2}+y^{2}=1</math> egyenletű egységkör szerepel. Az inverz trigonometrikus függvények esetében azonban (a körívhossz és körcikkterület arányossága miatt) a függvényértékre nemcsak mint területre, hanem mint ívhosszra is gondolhatunk, ezért jelölik őket ''arc'' (arcus, ív) előtaggal.
 
==Jelölésük==
Az inverz hiperbolikus függvények szokásos matematikai jelölése ''arsinh, arcsinh'' vagy ''asinh'' a számítástechnikában. A ''sinh<sup>-1</sup> (x), cosh<sup>-1</sup>(x)'' jelölés szintén használatos, de ügyelni kell arra, hogy a ''-1'' kitevő ne vezessen félreértésre. Az ''arcsinh'', ''arccosh'' szintén széles körben használt, bár az ''arc'' rövidítés eredetileg az ''arcus''ra vonatkozik, az ''ar'' viszont az ''area'' helyett áll.
Az area hiperbolikus szinusz példáján bemutatva:
 
*A legelterjedtebb jelölés az ''arsh'' illetve az ''arsinh''.
A függvények definiciója a komplex síkon:▼
*A számítástechnikában leggyakrabban ''asinh''-val jelölik.
*Az ''sh<sup>-1</sup>'' jelölés szintén használatos, de ügyelni kell arra, hogy a ''-1'' ne legyen összetéveszthető a [[reciprok]]képzéssel.
*Az ''arcsinh'' forma is gyakori, annak ellenére, hogy az ''arc'' rövidítés az arcus, azaz ív szó helyett áll, a hiperbolikus függvények pedig területnagysághoz kapcsolódnak, ívhosszhoz nem. Ezért helyesebb az ''ar'' jelölést használni, ami az ''area'', azaz a terület szóból ered.
 
==Kiszámításuk==
:<math>\operatorname{arsinh}\, x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})</math>▼
 
:<math>\operatorname{arcosh}\, x = \ln(x + \sqrt{x-1}\sqrt{x+1})</math>▼
▲A függvények definiciójakiszámítása a komplex síkonszámok halmazán:
:<math>\operatorname{artanh}\, x = \ln\left(\frac{\sqrt{1 - x^2}}{1-x}\right)▼
 
▲:<math>\operatorname{arsinharsh}\, x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})</math>
▲:<math>\operatorname{arcosharch}\, x = \ln(x + \sqrt{x-1}\sqrt{x+1})</math>
▲:<math>\operatorname{artanharth}\, x = \ln\left(\frac{\sqrt{1 - x^2}}{1-x}\right)
= \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)</math>
:<math>\operatorname{arcsch}\, x = \ln\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+\frac{1}{x}\right)</math>
:<math>\operatorname{arsecharsch}\, x = \ln\left(\sqrt{\frac{1}{x}-1}\sqrt{\frac{1}{x}+1}+\frac{1}{x}\right)</math>
:<math>\operatorname{arcotharcth}\, x = \frac{1}{2} \ln\frac{x+1}{x-1}</math>
 
<!--
TheA abovefenti squaregyökjelek rootsaz areelsődleges principal(principális) [[squarenégyzetgyököt root]]sjelölik. ForHa reala argumentsgyökjel whichalatt returnvalós realértékű valueskifejezés áll, certainakkor simplificationsa canképletek beegyszerűsíthetőek, madehiszen e.g.ekkor <math>\sqrt{x - 1}\sqrt{x+1}=\sqrt{x^2-1}</math>,. whichEz areaz összefüggés azonban képzetes (imaginárius, notnem generallyvalós) trueértékek whenmegengedése usingesetén principalmár squarenem rootsigaz.
 
-->
==Sorbafejtésük==
A fenti függvények sorbafejtése:
 
:<math>\operatorname{arsinharsh}\, x</math>
::<math>= x - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^5} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^7} {7} +\cdots</math>
::<math>= \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| < 1</math>
 
:<math>\operatorname{arcosharch}\, x</math>
::<math>= \ln 2x - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-6}} {6} +\cdots \right)</math>
::<math>= \ln 2x - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-2n}} {(2n)} , \qquad x > 1</math>
 
:<math>\operatorname{artanharth}\, x = x + \frac {x^3} {3} + \frac {x^5} {5} + \frac {x^7} {7} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| < 1 </math>
 
:<math>\operatorname{arcsch}\, x = \operatorname{arsinharsh}\, x^{-1}</math>
::<math>= x^{-1} - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-5}} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-7}} {7} +\cdots</math>
::<math>= \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| < 1</math>
 
:<math>\operatorname{arsecharsch}\, x = \operatorname{arcosh}\, x^{-1}</math>
::<math>= \ln \frac{2}{x} - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{6}} {6} +\cdots \right)</math>
::<math>= \ln \frac{2}{x} - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n}} {2n} , \qquad 0 < x \le 1 </math>
 
:<math>\operatorname{arcotharcth}\, x = \operatorname{artanh}\, x^{-1}</math>
::<math>= x^{-1} + \frac {x^{-3}} {3} + \frac {x^{-5}} {5} + \frac {x^{-7}} {7} +\cdots</math>
::<math>= \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| > 1 </math>
 
:<math>\operatorname{arsinharsh}\, x = \ln 2x + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( { - 1} \right)^{n - 1} \frac{{\left( {2n - 1} \right)!!}}{{2n\left( {2n} \right)!!}}} \frac{1}{{x^{2n} }}</math>
 
== Források ==
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/wiki/Inverz_hiperbolikus_függvények”