„Elsőrendű nyelv” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a Bot: ISBN formátum javítása |
a Bot: pl. javítása példáulra, Replaced: pl. → például (6) |
||
5. sor:
Az „elsőrendű” kifejezés általában egy [[#Szemantika|szemantikai]], de [[#Szintaxis|szintaktikus]] úton definiált tulajdonságra utal, utóbbi definíció pontatlanul a következő: a függvény- és predikátumváltozók formális argumentumai – melyek szintén változók – nem lehetnek maguk is predikátumváltozók. A pontos szemantikai leírás [[:Halmazelmélet|halmazelméleti]] eszközökkel tehető meg: a nyelv tehet kijelentéseket az általa vizsgált elmélet, „univerzum” elemeiről, de az elemek tetszőleges halmazáról, vagyis az univerzum hatványhalmazának elemeiről már nem.
* A betűk egy halmaz, az ''ábécé'' különféle jelei lehetnek:
* A szabályok ''([[#Szintaxis|szintaxis]])'' megadják, hogy a szimbólumokból hogyan képezzünk olyan sorozatokat, melyeket értelmesnek, azaz a nyelv részeinek tartunk. Ezen szabályokat többféle módszerrel is megfogalmazhatjuk (mi a logikában általánosan használt és legkézenfekvőbbnek tekintett ''szintaktikus rekurzió''t alkalmazzuk, de lehetséges [[halmazelmélet]]i fogalmakra; és/vagy [[generatív nyelvtan]]okra, [[Markov-algoritmus]]okra vagy egyebekre is építeni).
* Maga a nyelv, mint kifejezéseinek halmaza, a betűkből a szabályok segítségével építhető fel. A betűket és szabályokat együtt a nyelv '''''[[#A nyelvbázis|bázis]]'''''ának nevezzük.
27. sor:
** Még egy megkülönböztetést kell tennünk; ugyanis a „változó” kifejezést a logikában egy kicsit szűkebb értelemben használjuk, mint a matematikában. A matematikában egy nyelv változója olyan nyelvi szimbólum, mely többféleképp interpretálható. Ebben az értelemben a logikai nyelvek bármely szimbóluma ''(„nem-logikai”)'' változó. Azonban ''„logikai (értelemben vett) változó''nak” csak akkor nevezhetünk egy szimbólumot, ha egy adott, rögzített interpretációban is többféle értéket vehet fel. Ebben az értelemben az elsőrendű nyelvekben csak az individuumjelek számítanak változónak.
** Vegyük észre, hogy „az interpretáció kivisz minket a nyelvből”: az interpretált szimbólumok már nem részei az adott logikai nyelvnek. E szempontból egy logikai nyelv bármely szimbóluma – az ún. logikai összekötőjeleket leszámítva, melyek halmazát később <math> L </math>-lel fogjuk jelölni – értelmetlennek nevezhető (más szempontból azonban nem, hogy ti. a szimbólumok interpretálhatóak, tehát lehet hozzájuk jelentést tulajdonítani – csakhogy a jelentés már kívül van a nyelven).
** Megjegyzés: a dolog nem mindig jelenti a logikai nyelv kifejezőerejének semmisségét (néhány fontos nyelvben – például a [[halmazelmélet]]et leíró [[#A halmazelmélet nyelve|elsőrendű nyelvben]] a ''konstansszimbólumok'' segítenek ezen). Gyakran előfordul
* '''''Szintaxis''''': A nyelv szimbólumaiból bizonyos előírások alapján ([[#Szintaxis|szintaxis]]) sorozatokat („jólképzett '''''szavak'''''at”) képezhetünk. Mivel egy interpretáció minden elemnek egy struktúra valamely elemét felelteti meg, ezért egy szimbólumsorozatnak is a struktúra valamely eleme: univerzumelem, vagy függvény, vagy ezekről szóló állítás felel meg. A nyelv szavai különféle szintaktikai és szemantikai osztályokba (termek, formulák, prímformulák, formulamagok stb.) tartozhatnak, azaz különféle előírt alakúak és jelentésűek lehetnek, és elsősorban az ilyesfajta megkülönböztetésekről szól e nyelvek elmélete.
** Hangsúlyozni kell tehát, hogy az elsőrendű nyelv valójában nem pusztán szimbólumhalmazból álló formális nyelv, hanem van szintaxisa és szemantikája is. Azonban, ahogy az látható is lesz lentebb, ezt a matematikai definícióba – különféle okok miatt – nem minden szerző szokta beleépíteni, ami viszont bizonyos hiányt okoz. Ennek betöltésére két megoldás is elképzelhető:
80. sor:
* Ennyit az aritási függvényekről. Meg kell adnunk azonban nemcsak a változók számát, hanem azok fajtáit is:
** Mivel az <math> \alpha (f), \beta (\rho), \gamma(c) </math> függvények bizonyos rendezett párok halmazai, vehetjük ezek [[unió (halmazelmélet)unió]]ját. Nem nehéz belátni, hogy a három függvény értelmezési tartományainak páronkénti diszjunktsága miatt (ezt az alapkövetelményt az [[#Az ábécé|ábécé]] leírásánál említettük) a függvények uniója is függvény lesz, értelmezési tartománya a három függvény értelmezési tartományának uniója. A <math> \sigma = \alpha_{f} \cup \beta_{\rho} \cup \gamma_{c} ; F \cup P \cup C \mapsto \bigcup_{i=1}^{\mathcal{1}}Sr^{i} </math> uniófüggvényt nevezhetjük a nyelv(bázis) szignatúrájának (vagy típusának, fajtájának stb.).
** Nevezhetjük '''szignatúrá'''nak a <math> \sigma = \left( \alpha_{f} , \beta_{\rho} , \gamma_{c} \right) </math> függvényhármast is. Az utóbbit tesszük, mert a konkrét nyelvekre egyszerűbb és átláthatóbb külön-külön megadni a szignatúrát (
** A szignatúra úgy is megadható, hogy rendre felsoroljuk az ábécé jeleit: konstans-, függvény- és predikátumszimbólumokat, ez egy rendezett (esetleg végtelen sok tagú) elem-sokaság, azután minden kérdéses szimbólum fajtáját/alakját is hasonló rendezett elem-sokaságként adjuk meg, az első rendszerben az i-edik szimbólum alakját a második rendszerben az i-edik elem adja meg. Ezt a formát, melyet ha jól megnézünk, nem különbözik lényegesen az uniófüggvényként való megadástól, a nyelv '''''típus'''''ának szokás nevezni.
99. sor:
# Ha P n-változós predikátumszimbólum, és <math> t_{1}, t_{2}, ..., t_{n} </math> termek, akkor <math> P \left( t_{1}, t_{2}, ..., t_{n} \right) </math> (elsőrendű) formula. Az ilyen, csak termeket, predikátumszimbólumokat és kiegészítő jeleket tartalmazó formulákat '''atomi formulák'''nak nevezzük.
# Ha <math> P </math> formula, akkor <math> \lnot (P) </math> is formula ; ha P atomi formula, akkor ehelyett <math> \lnot P </math> is írható (atomi formula negációja esetén a zárójeleket nem kell kitenni).
# Ha <math> P, Q </math> két formula, és <math> \oplus \in L - \{ \lnot \} </math>, akkor <math> (P) \oplus (Q) </math> is formula. Tehát ekkor <math> (P) \wedge (Q) </math>, <math> (P) \vee (Q) </math>, <math> (P) \rightarrow (Q) </math> is formulák. Ha ''P,''''Q'' egyike atomi formula, akkor a zárójelezés elhagyható: azaz
# Ha <math> x \in V </math> individuumváltozó, ''A'' tetszőleges formula, ''Q'' pedig kvantor – <math> Q \in \left\{ \forall , \exist \right\} </math> – akkor <math> Qx(A) </math> is formula. Az ilyen alakú formulákat '''''kvantált formulá'''''nak (kvantifikációnak) nevezzük. Tehát
# Minden formula az 5).-8). szintaktikai szabályok véges sokszori alkalmazásával áll elő az ábécé elemeiből és a termekből.
| |||