„Normált tér” változatai közötti eltérés

1 371 bájt hozzáadva ,  12 évvel ezelőtt
 
== Példák ==
Legegyszerűbb példák a véges dimenziós komplex és valós vektorterek, rajtuk az úgynevezett euklideszi normával. Ha <math>x\in\mathbb{{K}}^n</math>, akkor ennek euklideszi normája:
 
<math>||x||_E=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2}</math>
 
Más normák is értelmezhetőek ezen a vektortéren:
 
<math>||x||_{\max}=\max\{|x_1|,|x_2|,\ldots,|x_n|\}</math>
 
<math>||x||_{p}=\sqrt[p]{|x_1|^p+|x_2|^p+\ldots+|x_n|^p}</math>
 
Ha adott két normált tér, akkor egy köztük menő lineáris [[operátor]] normáját is lehet értelmezni. Legyen ugyanis <math>(X,||\cdot||_X),\ (Y,||\cdot||_Y)</math> két normált tér, <math>A:X\to Y</math> egy lineáris operátor. Ennek [[operátornorma|(operátor)normája]]:
 
<math>||A||=\sup\{||Ax||_Y :||x||_X\leq 1 \}</math>, feltéve hogy ez a szuprémum véges.
 
Az olyan lineáris operátorokat, amelyekre ez véges, '''korlátos lineáris operátoroknak''' nevezzük. Jegyezzük meg, hogy ezek az operátorok pontosan a [[folytonos függvény|folytonos]] lineáris operátorok.
 
Függvénytereken is lehet normát értelmezni. Legyen <math>(X,\mathcal{A},\mu)</math> [[mértéktér]], és vegyük a következő függvényteret:
 
<math>L^p(X)=\{f:X\to\mathbb{{K}} :\int_{X}|f|^p d\mu<\infty\}</math>
 
Vezessünk be ezen egy [[ekvivalencia-relációt]]:
 
<math>f\sim g\Leftrightarrow \mu\left(\{x:f(x)\not=g(x)\}\right)=0</math>
 
== Tulajdonságok ==
41

szerkesztés