Modulus (matematika)

A modulus matematikai objektum. Egy gyűrű feletti modulus viszonya a gyűrűhöz ahhoz hasonlít, mint egy test feletti vektortér viszonya a testhez. Az algebrában a modulusoknek rengeteg alkalmazása van többek közt a csoportelméletben, a gyűrűelméletben és az |algbrai geometriában.

Definíció

Legyen adva egy $R$ gyűrű, és legyen $(M,+)$ Abel-csoport. Tegyük fel, hogy létezik egy $*:R\times M\mapsto M$ "szorzás" művelet (ez fogja a vektorok skalárral való szerepét kapni, egymásmelléírással jelöljük). Az $M$-et baloldali $R$-modulusnak nevezzük, ha az előbbi műveletek teljesítik a következő kritériumokat:

Legyenek $r,s\in R$ és $n,m\in M$. Ekkor:

• r(n+m)=rn+rm
• (r+s)n=rn+sn
• r(sn)=(rs)n

Ha $R$ egységelemes gyűrű, akkor $M$-et unitér modulusnak nevezzük, ha

• $1n=n$

Hasonlóan értelmezzük a jobboldali modulust, ekkor a szorzás a másik oldalról történik. Vannak kétoldali modulusok, ezek egyszerre bal- és jobboldali modulusok, tehát a jobboldali szorzás ugyanaz, mint a baloldali szorzás (szokás ezt bimodulusnak is nevezni).

Példák

Legyen $A$ egy Abel-csoport. Ez modulussá tehető $\mathbb {Z}$ felett a következő szorzásművelettel. Legyen $a\in A,n\in \mathbb {Z}$ és ekkor $n*a=a*n=a+\dots +a$ $n$-szer. Ha $n$ negatív, akkor értelem szerint $a^{-1}$-nek kell az $n$-szeres összegét venni, ha pedig $n=0$, akkor $0*a=1_{A}$. Könnyen ellenőrizhető, hogy ez valóban modulus.

Legyen $R=\mathbb {R} ^{n\times n}$, tehát az $n\times n$-es valós mátrixok (az összeadással és a mátrixszorzással, mint művelettel), és legyen $M=\mathbb {R} ^{n}$, és értelmezzük a szorzást így: $X\in R,v\in M$ esetén $X*v=Xv$, tehát a közönséges mátrix-vektor szorzás. Ez egy baloldali modulus, de nem kétoldali, ugyanis általában $Xv\not =vX$.