Wikipédia

„Affin kombináció” változatai közötti eltérés

Laptörténet interaktív böngészése
[nem ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
← Régebbi szerkesztésÚjabb szerkesztés →
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
VizuálisWikiszöveges
Alle (vitalap | szerkesztései)
302 szerkesztés
Alle (vitalap | szerkesztései)
302 szerkesztés
69. sor:
Valójában hasonló gondolatmenettel lehet belátni az analóg állítást tetszőleges <math> n \in \mathbb{N}</math> véges n-dimenziós <math> \mathbb{E}^{n} </math> euklideszi térre.
 
Legyenek adva az <math> A_{1}, A_{2}, …\cdots , A_{n+1} </math> pontok, melyekhez valamelyiket kezdőpontul választva – legyen <math> A_{k} </math>, ahol <math> k \in \mathbb{N} </math> és <math> 1 \le k \le n+1 </math> - az <math> \underline{a} _{1} = \vec{A_{k}\!A_{1}}, \underline{a} _{2} = \vec{A_{k}\!A_{2}}, …\cdots , \underline{a} _{n} = \vec{A_{k}\!A_{n}}, \underline{a} _{n+1} = \vec{A_{k}\!A_{n+1}} </math> helyvektorok tartoznak. Ez n+1 db. vektor lesz, de mivel az egyik épp a <math> \underline{0} = \underline{a}_{k} = \vec{A_{k}\!A_{k}} </math> nullvektor, valójában olyan, mintha csak n vektorunk volna (ez csak egy bizonyítástechnikai probléma, a következők érvényességét nem befolyásolja).
 
Tegyük fel, hogy e pontok – értsd: a megfelelő vektorok, az előbb említett nullvektort beleértve – [[lineáris függetlenség|lineárisan függetlenek]], azaz az általuk meghatározott (generált) altér pontosan n-dimenziós, vagyis épp <math> \mathbb{E}^{n} </math> (ugyanis n-dimenziós térnek nincs valódi n-dimenziós altere, csak önmaga). Tehát minden <math> P \in \mathbb{E}^{n} </math> pont előáll az adott vektorok lineáris kombinációjaként, mégpedig egyértelműen (s ezen az sem változtat, ha egy <math> \underline{a}_{k} = \underline {0} </math>nullvektort is hozzáírunk a lenti összeghez, <math> \alpha_{k}=0 </math> nulla együtthatóval, hogy az együtthatók összege se változzon):
 
<center><math> \vec{A_{k} \! P} = \sum_{i=1}^{n+1} {\alpha_{i} \vec{A_{k} \! A_{i}} = } \alpha_{1} \vec{A_{k} \! A_{1}} + \alpha_{2} \vec{A_{k} \! A_{2}} + …\cdots +\alpha_{n} \vec{A_{k} \! A_{n}} + \alpha_{n+1} \vec{A_{k} \! A_{n+1}} </math> </center>
 
Azaz
 
<center><math> \underline{p} - \underline{a}_{k} = \alpha_{1} \left( \underline{a}_{1} - \underline{a}_{k} \right) + \alpha_{2} \left( \underline{a}_{2} - \underline{a}_{k} \right)+ …\cdots +\alpha_{n} \left( \underline{a}_{n} - \underline{a}_{k} \right) +\alpha_{n+1} \left( \underline{a}_{n+1} - \underline{a}_{k} \right) = </math><br>
<br>
<br>
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/wiki/Affin_kombináció”