„Σ-algebra” változatai közötti eltérés

17 bájt hozzáadva ,  11 évvel ezelőtt
a (Bot: következő módosítása: zh:Σ-代数)
A szigma-algebrához legközelebbi struktúrafajta a [[&lambda;-rendszer]] fogalma. Ezek fogalmához úgy jutunk, hogy a szigma-zártság követelményét meggyengítjük, és csak a páronként diszjunkt unióra zártságot követeljük meg. Egy halmazcsalád pontosan akkor szigma-algebra, ha λ-rendszer és π-rendszer (azaz megszámlálható metszet-zárt) is egyben <ref> Ambar N. Sengupta: ''[http://www.math.lsu.edu/~sengupta/7312s02/sigmaalg.pdf Sigma Algebras]'' ([[pdf]]-jegyzet, v. 2007. 08. 05. 23:51.).</ref>.
 
Ha a 3. axióma helyett az a gyengébb követelményt állítjuk fel, hogy <big>''A''</big> véges sok tagjának egyesítésére legyen mindig csak feltétlenül zárt; akkor az [[halmaztest|egyszerű halmaztest]] fogalmát kapjuk. Ha viszont megerősítjük a 3. axiómát úgy, hogy nemcsak megszámlálható, de megszámlálhatatlanul végtelen családok egyesítésére való zártságát is megköveteljük; s egyúttal a 2. axiómát úgy gyengítjük meg, hogy a különbségre zártság helyett csak a metszetre való zártságot követeljük meg, a [[topologikus tér]] fogalmát kapjuk. Belátható, hogy ez tényleg gyengébb követelmény <ref>Pl. az Ψ = {1,2} halmazon az <big>''A''</big> = <nowiki>{∅, {1}, {1,2}}</nowiki> halmaz egy [[topologikus tér|topológiát]] alkot, zárt az uniójra és a metszetképzésre, de nem alkot σ-algebrát: az {1,2}\{1} = {2} halmaz nem tagja <big>''A''</big>-nak.</ref>
 
Bár egy egykomponensű topologikus struktúra igazából egy halmazból és egy efeletti egyetlen halmazcsaládból képezett [[rendezett pár]], a Borel-féle halmaztesten nem ezt, hanem e párnak csak a második tagját szokás érteni. Tehát az Ω feletti Borel-féle halmaztest vagy σ-algebra az Ω részhalmazainak egy megfelelő <big>''A''</big> halmaza. Magát az (Ω, <big>''A''</big>) párt '''mérhető tér'''nek szokás nevezni (a Borel-féle halmaztest és a mérhető tér fogalma közti különbség általában kevéssé releváns<!--ezért vettem egy cikkbe-->).