„LU felbontás” változatai közötti eltérés

Legyen ''A'' egy kvadratikus mátrix, amelyre az '''LU felbontás ''' a következő alakú:

ahol ''L'' és ''U'' alsó és felső trianguláris mátrixok (azonos méretűek) . Ez azt jelenti, hogy az ''L'' mátrix főátlója alatt illetve az ''U'' mátrix főátlója felett csak nullák találhatók.

Ez egy <math>3 \times 3</math> -as mátrixra a következő léppenképpen néz ki:

Egy '''LU felbontás''' teljes pivotizálással (Trefethen és Bau) a következő formájú:

Egy [[invertálható mátrixnak]] létezik ''LU'' felbontása [[akkor és csak akkor]] ha az első főátló nem tartalmaz nullát. Csak egy olyan felbontás létezik, ahol ''L'' (vagy ''U'') főátlóiban egyesek vannak. A mátrixnak szintén csak egy ''LDU'' felbontása létezik azonos feltételek mellett.

Ha egy mátrix szinguláris,akkor létezik ''LU'' felbontása. Valójában, ha egy négyzetes mátrix rangja ''k'' akkor az ''LU'' felbontás akkor létezik, ha az első ''k'' főátló nem nulla, habár ez fordítva nem igaz.

Minden mátrixnak --négyzetes vagy nem-- létezik ''LUP'' felbontása. L és P négyzetes mátrixok, de U olyan alakú mint A. A felső trianguláris mátrix főátlója felett csak nulla értékek szerepelhetnek, a bal felső saroktól kezdve. Az ''LUP'' felbontás akkor teljes, ha az u''U'' főátlója csak egyeseket tartalmaz.