„Stirling-formula” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a Bot: következő hozzáadása: cs:Stirlingův vzorec |
Kisebb javítások |
||
12. sor:
== Története ==
[[James Stirling]] skót matematikus az 1730-as Methodus Differentialis című művében mutatta be a logaritmusfüggvénnyel kapcsolatos összegzési eredményeit. Állítása szerint a <math>\log 1 + \log 2 +
<center><math>\left( {n + \frac{1}{2}} \right)\log \left( {n + \frac{1}{2}} \right) - \left( {n + \frac{1}{2}} \right) + \frac{1}{2}\log \left( {2\pi } \right) - \frac{1}{{24\left( {n + \frac{1}{2}} \right)}} + \frac{7}{{2880\left( {n + \frac{1}{2}} \right)^3 }} -
A végtelen sor együtthatóira rekurziós összefüggést adott meg, de explicit képlettel nem rendelkezett. Az általános tag <math>k \ge 1</math> esetén a kővetkező:
22. sor:
ahol B<sub>k</sub> a [[Bernoulli-szám|Bernoulli-féle számok]]at jelöli. Stirling eredményeit látva, [[Abraham de Moivre]] Miscellaneis Analyticis Supplementum című művében felfedezett egy egyszerűbb képletet:
<center><math>\left( {n + \frac{1}{2}} \right)\log n - n + \frac{1}{2}\log \left( {2\pi } \right) + \frac{1}{{12n}} - \frac{1}{{360n^3 }} +
Ebben az esetben az általános tag
34. sor:
De Moivre formuláját bizonyítjuk a gamma-függvényre. Euler képletéből indulunk ki:
<center><math>\Gamma \left( z \right) = \lim_{n\to\infty} \frac{{n!n^z }}{{z\left( {z + 1} \right)
A logaritmikus deriváltra áttérve (mindvégig feltesszük, hogy <math>\Re(z)>0</math>)
:<math>\psi \left( z \right): = \frac{{\Gamma '\left( z \right)}}{{\Gamma \left( z \right)}} = \lim_{n\to\infty} \left( {\log n - \frac{1}{z} - \frac{1}{{z + 1}} -
:<math> = \lim_{n\to\infty} \left( {\int_0^\infty {\frac{{e^{ - t} - e^{ - nt} }}{t}dt - \sum\limits_{r = 0}^{n - 1} {\int_0^\infty {e^{ - \left( {z + r} \right)t} dt} } } } \right)</math>
78. sor:
<center><math>\Gamma \left( z \right) \sim \left( {\frac{z}{e}} \right)^z \sqrt {\frac{{2\pi }}{z}} \sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{\left( {2k + 1} \right)!!a_{2k + 1} }}{{z^k }}}
= \left( {\frac{z}{e}} \right)^z \sqrt {\frac{{2\pi }}{z}} \left( {1 + \frac{1}{{12z}} + \frac{1}{{288z^2 }} -
ahol <math>a_k\,\!</math> az
85. sor:
rekurzióval számítható. Stirling eredeti sorára
<center><math>\Gamma \left( {z + \frac{1}{2}} \right) \sim \left( {\frac{z}{e}} \right)^z \sqrt {2\pi } \sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{b_k }}{{z^k }}} = \left( {\frac{z}{e}} \right)^z \sqrt {2\pi } \left( {1 - \frac{1}{{24z}} + \frac{1}{{1152z^2 }} +
adódik. Bevezetve a <math>c_k : = \left( {2k + 1} \right)!!a_{2k + 1}</math> jelölést, Legendre duplikációs képletéből
| |||