„Felező módszer” változatai közötti eltérés

[nem ellenőrzött változat][nem ellenőrzött változat]
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
1. sor:
==== Gyökök szétválasztása ====
A legtöbb módszer kizárólag egyetlen [[gyök]] keresésére alkalmas. Most, hogy a karakterisztikus
méretek alapján lerögzítettük, hogy mekkora pontosságot várunk el a közelítő
megoldástól, a következő lépés, hogy azonosítsuk azokat a rövid szakaszokat, melyeken
belül egyetlen gyök található. Ebben a következő tétel van segítségünkre:<br>
'''Tétel:'''<br>
 
1. ha az ''f(x)'' [[függvény (matematika)|függvény]] [[Folytonos függvény|folytonos]] az ''[a, b]'' [[intervallum]]on és az intervallum két végén ellentétes előjelű, akkor legalább egy vagy páratlan számú gyöke található az
intervallum belsejében.<br>
 
2. ha az ''f(x)'' függvény folytonos az ''[a, b]'' intervallumon és az intervallum két végén azonos előjelű, akkor vagy nincs gyöke vagy páros számú gyöke található az intervallum belsejében.<br>
 
Számunkra tehát az olyan szakaszok érdekesek, melyek végpontjaiban a függvény behelyettesítési értékei az abszcissza két oldalán helyezkednek el, azaz kielégítik az
''f(a)f(b) < 0''
közrezárási feltételt. Ennek biztosításához ismét a függvény karakterisztikus méretére van
szükségünk. Az "aprót" úgy határozzuk meg, mint a legkisebb ''x'' irányú karakterisztikus
méretnél jóval, mondjuk két-három nagyságrenddel kisebb intervallumot.
Az eljárás a következő: egy ''x<sub>min</sub>, x<sub>max</sub>'' intervallumon, adott kis ''h'' lépésekben "araszolunk" végig. Minden lépésben ellenőrizzük, hogy a végpontokban vett függvényértékek
különböző előjelűek-e. Ha igen, akkor megjegyezzük a végpontok helyét. Az eljárás a
végpontok egy-egy tömbjét téríti vissza. [[Pszeudokód]]ban ugyanez:<br>
<tt><font color="#808080">
1: '''function''' Gyökszétválasztás( '''in:''' f, x<sub>min</sub>, x<sub>max</sub>, h '''out:''' (a<sub>i</sub>), (b<sub>i</sub>) )<br>
2: *** ''f'' a tanulmányozott függvény, ''x<sub>min</sub>, x<sub>max</sub>'' az intervallum határai, ''h'' a lépésköz,<br>
''(a<sub>i</sub>), (b<sub>i</sub>)'' a gyököket tartalmazó intervallumok végpontjai<br>
3: '''pre''' x<sub>max</sub> > x<sub>min</sub><br>
4: x &rarr; x<sub>min</sub><br>
5: i &rarr; 1<br>
6: '''while''' x < x<sub>max</sub> '''do'''<br>
7: y &rarr; x + h<br>
8: '''if''' f(x)f(y) < 0 '''then''' *** közrezárási feltétel<br>
9: a<sub>i</sub> x<br>
10: b<sub>i</sub> y<br>
11: i &rarr; i + 1<br>
12: '''end if'''<br>
13: x &rarr; y<br>
14: '''end while'''<br>
15: '''return''' (a<sub>i</sub>); (b<sub>i</sub>)<br>
16: '''end function'''<br>
</font></tt><br>
Végső következtetésként megállapíthatjuk, hogy a gyökök szétválasztására nem létezik
általános érvényű numerikus módszer. Az ''f(x)'' függvény viselkedésének bizonyos mértékű
ismerete minden esetben szükséges.<br>
<br>
 
==== '''Felező módszer'''====
Az előző részben sikerült olyan intervallumokra felosztanunk a számtengelyt, amelyek