„Lagrange-féle középértéktétel” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Cike (vitalap | szerkesztései) A tételek bizonyítása nem enciplopédikus téma– ~~~~ |
a tétel nem tétel bizonyítás nélkül |
||
1. sor:
[[Kép:Lagrange mean value theorem.svg|bélyegkép|350px|Ábra a tételhez: a piros szelő párhuzamos a zöld érintővel]]
A ''' Lagrange-féle középértéktétel ''' a [[matematika]], ezen belül az [[analízis]] egyik fontos tétele.
==A tétel állítása==
6. sor:
<center><math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math></center>
teljesül.
==Bizonyítás==
A tételt visszavezetjük speciális esetére, [[Rolle tétele|Rolle tételére]]. Legyen <math>a\leq x\leq b</math>-re
<center><math>g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}x.</math></center>
A ''g'' függvény nyilván folytonos az <math>[a,b]</math> intervallumban és a belső pontokban
<center><math>g'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.</math></center>
Továbbá
<center><math>g(b)-g(a)=f(b)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a)=0.</math></center>
Alkalmazhatjuk tehát Rolle tételét és kapjuk, hogy van olyan ''c'' pont amire <math>g'(c)=0</math>, azaz
<center><math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.</math></center>
==Általánosítás==
15 ⟶ 25 sor:
teljesül.
===Bizonyítás===
Legyen <math>g\left(t\right)=f(a+t(b-a)), </math> ez <math> \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}</math> függvény. Mivel <math>g</math> differenciálható a <math>(0,1)</math> intervallumon, ezért alkalmazhatjuk a tétel 1 dimenziós változatát, azaz <math>\exist \theta \in (0,1)</math>, hogy
<center><math>g\left(1\right)-g(0)=g'(\theta).</math></center>
''g'' definícióját beírva:
<center><math>g(1)-g(0)=f(b)-f(a)=g'(\theta)=\langle\operatorname{grad}~f(a+\theta (b-a)), b-a\rangle</math></center>
<math>c:=a+\theta (b-a)</math> jelöléssel kapjuk a bizonyítandó állítást.
[[Kategória:Differenciálszámítás]]
| |||