„Matroidaxiómák” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
82. sor:
1. Ha egy független halmazhoz van csak eggyel nagyobb elemszámú független halmaz, akkor létezik ez utóbbiban egy elem, mely a kisebbnek nem eleme, s mellyel a kisebbet bővítve az még független marad.
<math> \forall F,F' \! \in \! \mathcal{F} : </math>
<center> <math> \left[ \ \ \left| F \right| +1 = \left| F' \right| \ \Rightarrow \ \left( \ \ \exist x \! \in \! F'-F : F \cup \left\{ x \right\} \in \mathcal{F} \ \ \right) \ \ \right] </math> </center>
* Ennek igazolása: ha ez igaz, akkor a bővíthetőségi axióma is teljesül, hiszen ha |K|<|N| független halmaz, akkor amennyiben <math> M \subseteq N </math>, úgy M is független a leszállási axióma szerint, és létezik olyan M is, hogy |M|=|K+1| legyen, és ekkor a gyengített axióma szerint van egy K-t függetlenné bővítő <math> M-K \subseteq N-K </math>-beli elem, tehát ez a bővítő elem N-K-beli is. Fordítva pedig, ha az eredeti, erősebb bővíthetőségi axióma teljesül, azaz tetszőleges |N|>|K| független halmazok esetén bővíthető a K, akkor nyilván olyan N-ekre is, melyekre |N|=|K|+1. A két állítás tehát egyenértékű (pontosabban, a bővíthetőség egyenértékű a gyenge bővíthetőség és a leszálló tulajdonság együttesével).
2. Ha két független diszjunkt halmaz egyike egy, a másika két elemű, akkor a nagyobb halmazban van olyan elem, mellyel a kisebbet bővítve független halmazt kapunk:
| |||