„Matroidaxiómák” változatai közötti eltérés

[nem ellenőrzött változat][nem ellenőrzött változat]
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
43. sor:
=== Halmaz bővítője és maximális függetlensége ===
 
A szóban forgó <math> x \in N-K </math> elemet egyébként a <math> K </math> halmaz bővítőjének nevezzük. Célszerű ezt általánosabban is megfogalmazni: legyen <math> X \subseteq U </math> az alaphalmaz tetszőleges részhalmaza. Ha van olyan <math> x \in U-X </math> elem, melyre <math> X \cup \left\{ x \right\} \in \mathcal{F} </math>, akkor ezt az elemet az <math> X </math> '''''bővítő'''''jének, ha pedig olyan <math> y \in U-X </math>, melyre <math> X \cup \left\{ y \right\} \not\in \mathcal{F} </math>, akkor utóbbit <math> X </math> '''''antibővítő'''''jének nevezzük. Ha <math> F \in \mathcal{F} </math> független halmaz, és nincs bővítője, akkor '''''maximális független''''' halmaznak nevezzük. Tehát a maximalitást a tartalmazásra (<math> \subseteq </math>) értjük a matroidelméletben (nem pedig a számosságok rendezésére, <math> \le </math>-re), hiszen ez pontosan azt jelenti, hogy nincs olyan <math> Y </math> halmaz, melyre <math> X \le Y \wedge Y \in \mathcal{F} </math>.
 
Ha <math> F \in \mathcal{F} </math> független halmaz, és nincs bővítője, akkor '''''maximális független''''' halmaznak nevezzük, vagy pedig a matroid [[#A bázisaxióma-rendszer|bázisának]]. Tehát a maximalitást a tartalmazásra (<math> \subseteq </math>) értjük a matroidelméletben (nem pedig a számosságok rendezésére, <math> \le </math>-re), hiszen ez pontosan azt jelenti, hogy nincs olyan <math> Y </math> halmaz, melyre <math> X \le Y \wedge Y \in \mathcal{F} </math>.
Legyen most is <math> A \subseteq X \subseteq U </math> az alaphalmaz két részhalmaza. Ha van olyan <math> x \in X-A </math> elem, melyre <math> A \cup \left\{ x \right\} \in \mathcal{F} </math> (s ekkor <math> A \cup \left\{ x \right\} \subseteq X </math>, akkor ezt az elemet az <math> A </math> halmaz <math> X </math>-re vonatkozó '''''relatív bővítő'''''jének nevezzük. Ha <math> A \in \mathcal{F} </math> független, és nincs <math> X </math> -re vonatkozó relatív bővítője, akkor nevezzük '''''<math> X </math>-ben, X-re vonatkozóan (relatíve) maximálisan független'''''nek, vagy X-ben nem bővíthetőnek.
 
A fenti fogalmak általánosítása: Legyen most is <math> A \subseteq X \subseteq U </math> az alaphalmaz két részhalmaza. Ha van olyan <math> x \in X-A </math> elem, melyre <math> A \cup \left\{ x \right\} \in \mathcal{F} </math> (s ekkor <math> A \cup \left\{ x \right\} \subseteq X </math>, akkor ezt az elemet az <math> A </math> halmaz <math> X </math>-re vonatkozó '''''relatív bővítő'''''jének nevezzük. Ha <math> A \in \mathcal{F} </math> független, és nincs <math> X </math> -re vonatkozó relatív bővítője, akkor nevezzük '''''<math> X </math>-ben, X-re vonatkozóan (relatíve) maximálisan független'''''nek, vagy X-ben nem bővíthetőnek.
 
Ha <math> A \in \mathcal{F} </math> független, és nincs <math> X </math> -re vonatkozó relatív bővítője, akkor nevezzük '''''<math> X </math>-ben, X-re vonatkozóan (relatíve) maximálisan független'''''nek, vagy X-ben nem bővíthetőnek.
 
== A maximalitási axiómarendszer és a rang ==