„Növelő részfélcsoport” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
66. sor:
Legyen S<sup>(-b)</sup> nem üres, ekkor van legalább egy eleme. Ez esetben (egyébként ha üres, akkor is) S<sup>(-b)</sup>-n érvényes az asszociativitás, akárcsak S-ben, elegendő tehát belátni, hogy S<sup>(-b)</sup> zárt a szorzásra. Legyen x,y az S<sup>(-b)</sup> két (nem feltétlenül különböző) eleme, akkor tételünk azt állítja, hogy xy nem balnövelő eleme S-nek. Tegyük fel ([[indirekt bizonyítás]]), hogy xy mégis csak balnövelő, azaz xy∈S<sup>(b)</sup>. Akkor valamely A⊂S valódi részhalmaz esetén (xy)A =nbsp;x(Ay) = S. De B := (yA)⊂S, mert különben y balnövelő elem lenne, holott nem az. Ezért nem lehet x(B) = x(Ay) = S sem, mert akkor meg x lenne balnövelő elem. Ez pedig ellentmond annak, hogy xy balnövelő elem, azaz (xy)A =nbsp;x(Ay) = S. Tehát xy nem balnövelő elem, így S<sup>(-b)</sup> valóban zárt a szorzásra. Hasonlóan bizonyítható, hogy amennyiben S<sup>(j)</sup>≠S, úgy S<sup>(-j)</sup>≤S [[QED|■]].
=== Egységelemes félcsoportban S<sup>(0)</sup> részfélcsoport ===
S részhalmazainak részfélcsoportsághoz a következő dolgok kellenek: 1). nem-üresség; 2). asszociatív a félcsoportművelet a részhalmazon; 3). algebrai zártság a szorzás műveletére. Az egységelem léte miatt az 1). követelmény teljesül, az egységelem (e) ugyanis se nem bal-, se nem jobbnövelő elem, mert bármely T⊂S valódi részhalmazra eT = Te = S ≠ T. Így e∈S<sup>(0)</sup>. Tetszőleges részhalmazra nyilvánvalóan igaz az asszociativitás; így 2). is teljesül. 3).-hoz igazolni kell, hogy bármely x,y∈S<sup>(0)</sup>-ra xy∈S<sup>(0)</sup>.
A növelő részfélcsoportok komplementerei - ha nem üresek - is részfélcsoportok (S,¤)-ben. Tehát:
<center>
# S<sup>(-b)</sup> := S-S<sup>(b)</sup> = S<sup>(j)</sup>∪S<sup>(0)</sup>≤(S, ¤);
# S<sup>(-j)</sup> := S-S<sup>(j)</sup> = S<sup>(b)</sup>∪S<sup>(0)</sup>≤(S, ¤).
</center>
Legyen S<sup>(-b)</sup> nem üres, ekkor van legalább egy eleme. Ez esetben (egyébként ha üres, akkor is) S<sup>(-b)</sup>-n érvényes az asszociativitás, akárcsak S-ben, elegendő tehát belátni, hogy S<sup>(-b)</sup> zárt a szorzásra. Legyen x,y az S<sup>(-b)</sup> két (nem feltétlenül különböző) eleme, akkor tételünk azt állítja, hogy xy nem balnövelő eleme S-nek. Tegyük fel ([[indirekt bizonyítás]]), hogy xy mégis csak balnövelő, azaz xy∈S<sup>(b)</sup>. Akkor valamely A⊂S valódi részhalmaz esetén (xy)A =nbsp;x(Ay) = S. De B := (yA)⊂S, mert különben y balnövelő elem lenne, holott nem az. Ezért nem lehet x(B) = x(Ay) = S sem, mert akkor meg x lenne balnövelő elem. Ez pedig ellentmond annak, hogy xy balnövelő elem, azaz (xy)A =nbsp;x(Ay) = S. Tehát xy nem balnövelő elem, így S<sup>(-b)</sup> valóban zárt a szorzásra. Hasonlóan bizonyítható, hogy amennyiben S<sup>(j)</sup>≠S, úgy S<sup>(-j)</sup>≤S [[QED|■]].
== Hivatkozások ==
| |||