„Növelő részfélcsoport” változatai közötti eltérés
[nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
→Egységelemes félcsoportban S<sup>(0)</sup> részfélcsoport: igem asszem majdnem ugyanaz, mint az előző bizi |
|||
71. sor:
S részhalmazainak részfélcsoportsághoz a következő dolgok kellenek: 1). nem-üresség; 2). asszociatív a félcsoportművelet a részhalmazon; 3). algebrai zártság a szorzás műveletére. Az egységelem léte miatt az 1). követelmény teljesül, az egységelem (e) ugyanis se nem bal-, se nem jobbnövelő elem, mert bármely T⊂S valódi részhalmazra eT = Te = S ≠ T. Így e∈S<sup>(0)</sup>. Tetszőleges részhalmazra nyilvánvalóan igaz az asszociativitás; így 2). is teljesül. 3).-hoz igazolni kell, hogy bármely x,y∈S<sup>(0)</sup>-ra xy∈S<sup>(0)</sup>. Legyen x,y az S<sup>(0)</sup> két (nem feltétlenül különböző) eleme, akkor tételünk azt állítja, hogy xy is se nem bal-, se nem jobbnövelő eleme S-nek. Tegyük fel ([[indirekt bizonyítás]]), hogy xy mégis csak bal- vagy jobbnövelő. Ha pl. balnövelő, akkor valamely A⊂S valódi részhalmaz esetén A(xy) =nbsp;(Ax)y = S. Ám ekkor B := Ax⊂S, mert különben x jobbnövelő elem lenne, holott nem az. Ezért nem lehet By = x(Ay) = S sem, mert akkor meg y lenne jobbnövelő elem, holott nem az. Ez pedig ellentmond annak, hogy xy balnövelő elem, azaz (xy)A =nbsp;x(Ay) = S. Tehát xy nem balnövelő elem. Hasonlóan látható be, hogy nem is jobbnövelő. Így S<sup>(0)</sup> valóban zárt a szorzásra [[QED|■]].
== Hivatkozások ==
|