„Növelő részfélcsoport” változatai közötti eltérés

<center><code><big>S⁽⁰⁾&nbsp;=&nbsp;S\(S^(b)∪S^(b))&nbsp;=&nbsp;S^(-b)∩S^(-j)</big></code>.</center>

 

 

S részhalmazainak részfélcsoportsághoz a következő dolgok kellenek: 1). nem-üresség; 2). asszociatív a félcsoportművelet a részhalmazon; 3). algebrai zártság a szorzás műveletére. Az egységelem léte miatt az 1). követelmény teljesül, az egységelem (e) ugyanis se nem bal-, se nem jobbnövelő elem, mert bármely <code>T⊂S</code> valódi részhalmazra <code>eT&nbsp;=&nbsp;Te&nbsp;=&nbsp;S&nbsp;≠&nbsp;T</code>. Így <code>e∈S⁽⁰⁾</code>. Tetszőleges részhalmazra nyilvánvalóan igaz az asszociativitás; így 2). is teljesül. 3).-hoz igazolni kell, hogy bármely <code>x,y∈S⁽⁰⁾</code>-ra <code>xy∈S⁽⁰⁾</code>. Legyen <code>x,y</code> az <code>S⁽⁰⁾</code> két (nem feltétlenül különböző) eleme, akkor tételünk azt állítja, hogy <code>xy</code> is se nem bal-, se nem jobbnövelő eleme <code>S</code>-nek. Tegyük fel ([[indirekt bizonyítás]]), hogy <code>xy</code> mégis csak bal- vagy jobbnövelő. Ha pl. balnövelő, akkor valamely <code>A⊂S</code> valódi részhalmaz esetén <code>A(xy)&nbsp;=&nbsp;(Ax)y&nbsp;=&nbsp;S</code>. Ám ekkor <code>B&nbsp;:=&nbsp;Ax⊂S</code>, mert különben <code>x</code> jobbnövelő elem lenne, holott nem az. Ezért nem lehet <code>By&nbsp;=&nbsp;x(Ay)&nbsp;=&nbsp;S</code> sem, mert akkor meg <code>y</code> lenne jobbnövelő elem, holott nem az. Ez pedig ellentmond annak, hogy <code>xy</code> balnövelő elem, azaz <code>(xy)A&nbsp;=&nbsp;x(Ay)&nbsp;=&nbsp;S</code>. Tehát <code>xy</code> nem balnövelő elem. Hasonlóan látható be, hogy nem is jobbnövelő. Így <code>S⁽⁰⁾</code> valóban zárt a szorzásra [[QED|■]].