„Növelő részfélcsoport” változatai közötti eltérés

Egységelemes félcsoportban <code>S⁽⁰⁾</code> rész-félcsoport (emiatt nem üres, tehát egységelemes félcsoportban van olyan elem, amely se nem bal-, se nem jobbnövelő); ráadásul olyan, amelynek sem jobbnövelő, sem balnövelő eleme nincs.

S részhalmazainak részfélcsoportsághoz a következő dolgok kellenek: 1). nem-üresség; 2). asszociatív a félcsoportművelet a részhalmazon; 3). algebrai zártság a szorzás műveletére. Az egységelem léte miatt az 1). követelmény teljesül, az egységelem (<code>e</code>) ugyanis se nem bal-, se nem jobbnövelő elem, mert bármely T⊂S valódi részhalmazra eT&nbsp;=&nbsp;Te&nbsp;=&nbsp;S&nbsp;≠&nbsp;T. Így e∈S⁽⁰⁾. Tetszőleges részhalmazra nyilvánvalóan igaz az asszociativitás; így 2). is teljesül. 3).-hoz igazolni kell, hogy bármely x,y∈S⁽⁰⁾-ra xy∈S⁽⁰⁾. Legyen x,y< az S⁽⁰⁾ két (nem feltétlenül különböző) eleme, akkor tételünk azt állítja, hogy <code>xy</code> is se nem bal-, se nem jobbnövelő eleme <code>S</code>-nek. Tegyük fel ([[indirekt bizonyítás]]), hogy <code>xy</code> mégis csak bal- vagy jobbnövelő. Ha pl. balnövelő, akkor valamely A⊂S valódi részhalmaz esetén A(xy)&nbsp;=&nbsp;(Ax)y&nbsp;=&nbsp;S. Ám ekkor B&nbsp;:=&nbsp;Ax⊂S, mert különben <code>x</code> jobbnövelő elem lenne, holott nem az. Ezért nem lehet By&nbsp;=&nbsp;x(Ay)&nbsp;=&nbsp;S sem, mert akkor meg <code>y</code> lenne jobbnövelő elem, holott nem az. Ez pedig ellentmond annak, hogy <code>xy</code> balnövelő elem, azaz (xy)A&nbsp;=&nbsp;x(Ay)&nbsp;=&nbsp;S. Tehát <code>xy</code> nem balnövelő elem. Hasonlóan látható be, hogy nem is jobbnövelő. Így <code>S⁽⁰⁾</code> valóban zárt a szorzásra [[QED|■]].