„Ellipszoid” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a Bot: következő módosítása: pt:Elipsoide |
az ellipszoid felszíne |
||
12. sor:
képlet adja. Az ellipszoid felszíne általában nem fejezhető ki ''a, b'' és ''c'' elemi függvényeként.
==Felszín==
Az általános ellipszoid felszíne nem fejezhető ki az olyan elemi függvényekkel, mint az arkusz tangens vagy az arkusz szinusz. A felszín [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] nyomán az elliptikus integrálokkal írható le:
Jelöljük az ellipszoid tengelyeit úgy, hogy <math>a>b>c</math> legyen. Ekkor
:<math>k=\frac ab \frac{\sqrt{b^2-c^2}}{\sqrt{a^2-c^2}}</math> és <math>\varphi=\arcsin \frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a}</math>,
így az integrálok
:<math>E(k,\varphi)=\int_0^{\sin \varphi} \sqrt{\frac{1-k^2 x^2}{1-x^2}}\ \mathrm dx</math> és <math>F(k,\varphi)=\int_0^{\sin \varphi} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-k^2 x^2}}\ \mathrm dx.</math>
Die Oberfläche hat mit E und F nach Legendre den Wert
:<math>A=2\pi c^2+\frac{2\pi b}{\sqrt{a^2-c^2}}\left(c^2 F(k,\varphi)+(a^2-c^2) E(k,\varphi)\right).</math>
Werden die Ausdrücke für ''k'' und <math>\varphi</math> sowie die Substitutionen
:<math>u=\frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a}</math> und <math>v=\frac{\sqrt{b^2-c^2}}{b}</math>
in die Gleichung für ''A'' eingesetzt, so ergibt sich die Schreibweise
:<math>A=2\pi c^2+2\pi ab \int_0^1 \frac{1-u^2 v^2 x^2}{\sqrt{1-u^2 x^2} \sqrt{1-v^2 x^2}}\ \mathrm dx.</math>
Von Knud Thomsen stammt die (integralfreie) Näherungsformel
:<math>A\approx 4\pi\!\left(\frac{ (a b)^{1.6}+(a c)^{1.6}+(b c)^{1.6} }{3}\right)^{0.625}\,\!.</math>
Die maximale Abweichung vom exakten Resultat beträgt weniger als 1.2%.
Im Grenzfall eines vollständig plattgedrückten Ellipsoids <math>\left( c \to 0 \right)</math> streben alle drei angegebenen Formeln für A gegen <math>2\pi ab </math>, den doppelten Wert der Fläche einer Ellipse mit den Halbachsen a und b.
{{csonk-matematika}}
| |||