|
A matematikában több és többféle műveletet is nevezünk '''összeadás'''nak. Így össze lehet adni a [[természetes számok]]on kívül [[egész számok]]at, [[negatív és nem-negatív számok]]at, törteket, [[valós számok|valós]] vagy [[komplex számok]]at, [[vektor]]okat, az [[absztrakt algebra|absztrakt algebrában]] pedig tetszőleges műveletet is összeadásnak nevezhetünk.
A (valós) számok körén belül maradva, az '''összeadás''' a [[számtan]]i műveletek egyike, a hétköznapokban gyakorta előforduló számkörökben ([[természetes számok|természetes]], [[egész számok|egész]] és [[racionális számok|racionális avagy törtszámok]]) a legalapvetőbb és legfontosabb kétváltozós művelet. A kivonással, szorzással és osztással együtt '''alapművelet'''nek nevezzük. Leggyakrabban használt jele a + összeadásjel vagy „pluszjel”, bár - elsősorban az ún. [[vegyes tört]]ek esetében - az is előfordul, hogy az összeadást egyszerűen az összeadandó számok egymás mellé írásával, külön [[műveleti jel]] használata nélkül fejezzük ki.
A közös elnevezés mögötti logikai kapcsolatok erőssége és iránya változó, illetve matematikaszemlélettől és definíciótól is függhet. Pl. a természetes számok összeadása igen egyszerű módon tekinthető a valós számok összeadása leszűkítésének (ez a felépítés [[matematikai analízis|analízistankönyvekben]] gyakori), de tekinthető a halmazok számosságai közt értelmezett műveletnek is (ez esetben a valós számok összeadásának definiálása sokkal eszközigényesebb, és a származtatás iránya is megfordul). A vektorok összeadása sem teljesen független a valós számok összeadásának fogalmától, sőt a formalista felépítést elfogadva, az előbbi az utóbbi származéka, ugyanakkor történeti, didaktikai szempontból nézve (a formalistától eltérő geometriai megközelítést alkalmazva) sokkal lazábbnak is tekinthető a kapcsolat. Mindezt figyelembe véve, az összeadás felfogható egyszerű gyűjtőnévként egymással több-kevesebb (néhány esetben szinte semmilyen) tartalmi kapcsolatban álló matematikai műveletek megnevezésére.
{{egyert}}
A [[matematika|matematikában]] több és többféle kiemelt fontosságú [fmatematikai művelet|műveletet]] is nevezünk '''összeadás'''nak, mint pl.
== A természetes számok összeadása ==
* a [[természetes számok]] [[a természetes számok összeadása|összeadását]];
=== Az összeadás példái és motivációja ===
* az [[egész számok]] [[az egész számok összeadása|összeadását]];
* a [[racionális számok]] (avagy törtek) [[a racionális számok összeadása|összeadását]];
* a [[valós számok]] [[a valós számok összeadása|összeadását]];
* a [[komplex számok]] [[a komplex számok összeadása|összeadását]];
* a [[vektor]]ok összeadását;
* a [[valós függvény]]ek összeadását;
* s így tovább
* az [[absztrakt algebra|absztrakt algebrában]] pedig tetszőleges műveletet is összeadásnak nevezhetünk (lásd [[Operátor#Additív írásmód|]]).
A közös elnevezés mögötti logikai kapcsolatok erőssége és iránya változó, illetve matematikaszemlélettől és definíciótól is függhet. Pl. a természetes számok összeadása igen egyszerű módon tekinthető a valós számok összeadása leszűkítésének (ez a felépítés [[matematikai analízis|analízistankönyvekben]] gyakori), de tekinthető a halmazok számosságai közt értelmezett műveletnek is (ez esetben a valós számok összeadásának definiálása sokkal eszközigényesebb, és a származtatás iránya is megfordul). A vektorok összeadása sem teljesen független a valós számok összeadásának fogalmától, sőt a formalista felépítést elfogadva, az előbbi az utóbbi származéka, ugyanakkor történeti, didaktikai szempontból nézve (a formalistától eltérő geometriai megközelítést alkalmazva) sokkal lazábbnak is tekinthető a kapcsolat. Mindezt figyelembe véve, az összeadás felfogható egyszerű gyűjtőnévként egymással több-kevesebb (néhány esetben szinte semmilyen) tartalmi kapcsolatban álló matematikai műveletek megnevezésére.
[[Image:Addition01.svg|right|thumb|120px|Az összeadás népszerű ábrázolása: 3 + 2 = 5 almával <ref>From Enderton (p.138): "...select two sets ''K'' and ''L'' with card ''K'' = 2 and card ''L'' = 3. Sets of fingers are handy; sets of apples are preferred by textbooks."</ref>]]
Például a jobb oldali képen 3 alma és 2 alma van. Ez összesen öt alma. Matematikailag, az összeadás fogalmának segítségével ezt röviden úgy lehet leírni, hogy 3+2 = 5. Tehát képezzük két sokaság (halmaz) elemeinek számát és ezeket adjuk össze. <ref>Felhívjuk a figyelmet, hogy bár röviden szokás azt mondani, hogy „almákat” (vagy más konkrét vagy elvontabb tárgyakat) adunk össze, ez a megfogalmazás pontatlan, mert igazából az almák ''számát'' adjuk össze, az összeadás ugyanis ''matematikai'' művelet, amelyet nem tárgyakon és más efféle dolgokon, hanem számok között értelmezünk és hajtunk végre. Bár pedagógiai szempontból nem helyteleníthető gyakorlat nemcsak a művelet tárgyául szolgáló számok, hanem az azokat szolgáltató mennyiségek összeadásának is konkrét (enaktív) vagy ikonikus reprezentációját adni az összeadás tanításakor - az almáknál maradva, például két külön tálon szereplő almákat összeönteni - de hangsúlyoznunk kell, hogy ez nem összeadás, mégcsak nem is az efféle materiális műveletek általánosítása az összeadás, hanem az egy absztrakt művelet, ami számok és nem dolgok közt hat. Az „összeöntés” - bár nagyon fontos példája, reprezentációja, és motiválója az absztrakt összeadásfogalomnak - nem „oka” a matematikai összeadásnak, ezt mutatja, hogy almákat, pontosabban a számukat akkor is össze lehet adni, ha magát az összeöntést nem végezzük el (és nem csak pusztán amiatt, hogy a sok gyakorlat mintegy helyettesíti a konkrét műveletet), és az is, hogy magát a műveletet a konkrét műveletekre való mindenfajta hivatkozás nélkül, például halmazelméletileg is definiálni lehet.</ref>
Bebizonyítható, hogy az összeadás
*[[kommutatív]], azaz ''a+b=b+a''
*[[asszociatív]], vagyis ''(a+b)+c=a+(b+c)''
A [[szorzás]] [[disztributív]] az összeadásra. Az [[osztás]] jobbról disztributív szintén az összeadásra.
Ezek a tulajdonságok teljesülnek az összes előbb felsorolt számkörben.
Azokat a számokat, amiket összeadunk, '''összeadandóknak''' nevezzük. Az összeadás eredménye az '''összeg'''. Több számot úgy adunk össze, hogy előbb összeadjuk az első kettőt, utána a többi számot mindig a futó összeghez adjuk:
:<math>\sum_{i=1}^n a_i = a_1 + a_2 + \dots a_n = ( \dots (((a_1 + a_2 ) + a_3) + a_4 ) \dots ) + a_n</math>
A kommutativitás miatt az ilyen összeg értéke független az összeadandók sorrendjétől.
Az összeadás megfordítása a [[kivonás]].
A különféle számhalmazokra úgy terjesztjük ki a műveletet, hogy a szűkebb halmazon az összeadás jelentése ne változzon meg. Az összeadás a természetes, egész, racionális, valós és komplex számok halmazán is kommutatív és asszociatív művelet.
=== Más jelölési módok ===
Nemcsak a + összeadásjel jelölhet összeadást.
*Ha egy oszlopban egymás alá vannak írva a számok úgy, hogy az azonos nagyságrendek egymás alatt vannak, és az utolsó szám alá van húzva, akkor összeadásról van szó.
*Ha egy egész szám mögé tört van írva, akkor az egy olyan számot jelöl, ami az egész szám és a törtszám összege. Ez a két szám összegének vegyes törtként való felírása.<ref>Devine et al p.263</ref>
Például
<br /> 3½ = 3 + ½ = 3,5.
==Ábrázolása==
Az összeadásnak többféle fizikai modellje is van még a természetes számok körében is.
===Halmazok egyesítése===
[[Image:AdditionShapes.svg|right|200px]]
Az összeadás reprezentálható halmazok egyesítésével:
*Ha két diszjunkt halmazt egyesítünk, akkor az unió elemszáma a két halmaz elemszámának összege. <!--Ez igazából a halmazelméleti definíció a számosságok összeadására.-->
Ez az ábrázolás könnyen láttatható, és nehezen érthető félre. A magasabb matematikában is megjelenik. Nem világos viszont, hogy hogyan lehet az így definiált összeadást kiterjeszteni a negatív számokra és a törtekre.<ref>See [http://arxiv.org/abs/math.QA/0004133 this article] for an example of the sophistication involved in adding with sets of "fractional cardinality".</ref>
Az egyik lehetséges megközelítés szerint könnyen osztható tárgyakat kell venni, például süteményeket, vagy felosztott rudakat.<ref>''Adding it up'' (p.73) compares adding measuring rods to adding sets of cats: "For example, inches can be subdivided into parts, which are hard to tell from the wholes, except that they are shorter; whereas it is painful to cats to divide them into parts, and it seriously changes their nature."</ref> Ezeket egymáshoz lehet csatolni, ami átvezet egy másik ábrázoláshoz: a hosszak összeadásához.
===Hosszúságok===
*Ha egy hosszúságot egy adott hosszal megnövelünk, akkor az össesített hossz a két hossz összege lesz.
Az a+b összeadás két változós műveletként értelmezhető, ami összeteszi a-t és b-t, vagy b egységet tesz hozzá a-hoz.
Ebben az ábrázolásban jól lehet szemléltetni a törteket, de a kommutativitás nem nyilvánvaló, hiszen a és b szerepe eltér.
Hasonlóan lehet szemléltetni a kivonást, mert minden +b unáris összeadásnak van egy unáris kivonás megfordítása.
==Az összeadás elvégzése==
===Veleszületett képesség===
Az 1980-as években kezdődött vizsgálatok felfedezték a kisbabák veleszületett matematikai képességeit. Ehhez a habituáció jelenségét használták fel. A habituáció azt jelenti, hogy a kisbabák tovább nézik azt, amit nem várnak.<ref>Wynn p.5</ref> Karen Wynn 1992-es szemináriumi vizsgálatában mikiegér babákat használva kimutatta, hogy már az öt hónapos csecsemők is azt várják, hogy 1+1=2, és meglepődnek, ha ehelyett egy vagy három bábut mutatnak. Ezt az eredményt azóta több laboratórium is megerősítette különféle módszerekkel.<ref>Wynn p.15</ref> Egy másik 1992-es kísérletben 18-35 hónapos kisgyerekeket vizsgáltak. A kisebbek kis számokra jól válaszoltak, de a nagyobbakra nem; a nagyobb gyerekek jól számoltak ötig.<ref>Wynn p.17</ref>
Egyes állatok szintén mutatnak hasonló [[matematika]]i képességeket. Főként a [[főemlős]]öket vizsgálták. 1995-ben Wynn kísérletét elvégezték majmokon is; a bábuk helyett [[tojásgyümölcs]]öket használva. A [[rhesus makákó]]k és a [[gyapjasfejű tamarin]]ok az emberi csecsemőkhöz hasonlóan teljesítettek. Sőt, miután megtanítottak egy [[csimpánz]]ot a 0-tól 4-ig terjedő arab számjegyek jelentésére, az képes volt további tanítás nélkül összeadni két számot.<ref>Wynn p.19</ref>
===Elemi módszerek===
A gyerekek rendszerint először számálni tudnak. Ha egy egyereket megkérdünk, hogy mennyi három meg kettő, akkor számolnak: négy, ''öt''. Ezt a módszert könnyen eltanulják társaiktól, vagy tanáraiktól, és vannak, akik maguktól is rájönnek.<ref>F. Smith p.130</ref> A kommutativitást is hamar felfedezik, és mindig a nagyobb számtól kezdik a számolást.
Az összeadáshoz tudni kell az egyjegyű számok összegeit. Sokszor azonban mégis különböző stratégiák használatosak, amik értelemszerűbbek és könnyebben értelmezhetőbbek.<ref>Fosnot and Dolk p. 99</ref>
*1 vagy 2 hozzáadása: egyszerű számlálás, vagy intuíció.
*0 hozzádása: mivel a nulla az összeadás neutrális eleme, ezért a nulla hozzádása triviális. Egyes gyerekek úgy gondolják, hogy az összeadás mindig növel. A szöveges megfogalmazás segít elfogadni a nullát.
*Duplázás: Egy szám hozzáadása önmagához megfelel a kettesével számlálásának és a szorzáshoz is átvezet. A gyerekek könnyen megértik, és a rokon problémák megoldásához is sok segítséget jelent. Ilyenek például a majdnem-duplák, amik eggyel kisebbek a dupláknál.
*5 és 10: ezeket a számokat is könnyű hozzáadni.
*Kiegészítő számok: egymást tízre kiegészítő számok. Segítenek a kivonásban és a tízes átlépésben. Például 8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14.
A többjegyű számok összeadásához a számokat egymás alá írják úgy, hogy a megfelelő helyi értékek egymás alá kerüljenek. Az egyes oszlopokban levő számokat adják össze az utolsó jegytől kezdve. Ha az összeg nagyobb, mint tíz, akkor a tízesek számát átviszik a következő oszlopba. Más módszerek is léteznek, amik először a legnagyobb helyi értékű jegyeket adja össze. Ez a gyorsabb, de pontatlanabb módszer először becslést ad az összegre. Más módszerek is léteznek.
==Különböző számkörök==
Az összeadás kiterjeszthető a természetes számokat tartalmazó halmazokra: az egész számokra, a racionális számokra, a valós számokra, és még tovább.
===Természetes számok===
Az ''a'' és a ''b'' természetes számok összeadását kétféleképpen is bevezethetik.
1. Halmazok számossága:
Jelölje N(H) a H halmaz számosságát. Vegyünk két diszjunkt halmazt, A-t és B-t, hogy N(A)=''a'', és N(B)=''b''. Legyen <math>a+b=N(A \cup B)</math>.<ref>Begle p.49, Johnson p.120, Devine et al p.75</ref>
2. Számlálás:
Jelölje ''n''<sup>+</sup> ''n'' rákövetkezőjét. Így 0<sup>+</sup>=1, 1<sup>+</sup>=2, satöbbi. Legyen a+0=a, és a + (b<sup>+</sup>) = (a + b)<sup>+</sup>. Ez a definíció a Peano-axiómákon alapul.<ref>Enderton p.79</ref>
Mind a két definíciónak van más változata is. Az egyik szerint a két halmaznak nem kell diszjuktnak lennie, és az uniót multihalmaz értelemben tekintik. Egy másik először egy unáris +b műveletet definiál, és ez alapján vezeti be az összeadást.<ref>Enderton (p.79) observes, "But we want one binary operation +, not all these little one-place functions."</ref>
===Egész számok===
Az egész számokat a legegyszerűbben úgy lehet elképzelni, mint egy előjellel ellátott természetes szám. A nulla külön eset, mert nem pozitív, és nem negatív. Eszerint az összeadás a következőképpen definiálható:
*Ha az egyik összeadandó nulla, akkor az összeg a másik összeadandóval egyenlő.
*Ha a két összeadandó azonos előjelű, akkor az összeg előjele a két összeadandó közös előjele, abszolútértéke az összeadandók abszolútértékének összege
*Ha a két összeadandó különböző előjelű, akkor az összeg előjele megegyezik a nagyobb abszolútértékű összeadandó előjelével, abszolútértéke a két összeadnadó abszolútértéke közötti távolság.<ref>K. Smith p.234, Sparks and Rees p.66</ref>
Bár egyes esetekben hasznosnak bizonyulhat ez a definíció, nehéz belőle következtetni. Ezért inkább természetes számok különbségének tekintik az egész számokat, és így definiálják:
Adva legyenek az ''a'' − ''b'' és a ''c'' − ''d'' egész számok, ahol ''a'', ''b'', ''c'', és ''d'' természetes számok. Ekkor legyen ''(a − b) + (c − d) = (a + c) − (b + d)''.<ref>Enderton p.92</ref>
===Racionális számok===
A racionális számok összeadhatók a [[legkisebb közös többszörös]] felhasználásával, de a legegyszerűbb definíció csak egész összeadást és szorzást használ:
<math>\frac ab + \frac cd = \frac{ad+bc}{bd}.</math>
A kommutatív és az asszociatív tulajdonságok az egész számok aritmetikájából következek.<ref>The verifications are carried out in Enderton p.104 and sketched for a general field of fractions over a commutative ring in Dummit and Foote p.263.</ref>
===Valós számok===
A valós számok egy konstrukciója a valós számok teljessé tétele. Legyen a két valós szám a és b. Legyenek továbbá ''a''<sub>''n''</sub>, ''b''<sub>''n''</sub> olyan sorozatok, amik a-hoz és ''b''-hez tartanak. Ekkor legyen <math>a+b= \lim (a_n+b_n).</math><ref>Egyes könyvek lazán bánnak a határértékkel; lásd Burrill (p. 138) a részletes kifejtésért és indoklásért.</ref>
Ezt a módszert először Georg Cantor publikálta 1872-ben.<ref>Ferreirós p.128</ref>
A valós számok felfoghatók a racionálisok [[Dedekind-szelet]]eként. Ezek a Dedekin-szeletek azokból a racionális számokból állnak, amik kisebbek, mint az adott racionális szám. Ebben a felfogásban két valós szám összege:
<math>a+b = \{q+r \mid q\in a, r\in b\}.</math><ref>Enderton p.114</ref>
Ez a definíció először [[Richard Dedekind]]nél jelent meg 1872-ben.<ref>Ferreirós p.135; see section 6 of ''[http://www.ru.nl/w-en-s/gmfw/bronnen/dedekind2.html Stetigkeit und irrationale Zahlen]''.</ref>
A Dedekind-szeletekkel egyszerűen adódnak a valós számok összeadásának tulajdonságai. Ez a definíció azonban sokszor esetszétválasztáshoz vezet.<ref>A Dedekind-szelet elemeinek ellentettjét véve csak az irracionális számokra kapunk egyszerű konstrukciót. Lásd Enderton p.117 </ref>
A határértékes konstrukcióban először Cauchy-sorozatokkal kell bizonyítani, hogy ez egy jóldefiniált művelet. Ezt követően minden következik a racionális számok összeadásának tulajdonságaiból. Sőt, más műveletek is hasonlóan definiálhatók.<ref>Burrill p.140</ref>
==Absztrakt algebra==
A [[lineáris algebra|lineáris algebrában]] a [[vektortér|vektorterek]] olyan algebrai struktúrák, amik zártak a [[vektor]]ok összeadására és a skalárral való szorzásra. Például a két dimenziós valós vektortérben az (''a'',''b'') pontot vektorként értelmezik, ami az origóból indul ki. Magyarul a pontba mutató [[helyvektor]]ként tekintenek rá. Két vektort úgy adunk össze, hogy a megfelelő koordinátáikat összeadjuk:
(''a'',''b'') + (''c'',''d'') = (''a''+''c'',''b''+''d'').
Ez a művelet nagyon fontos a klasszikus mechanikában, ahol a vektorok [[erő]]ket reprezentálnak.
A moduláris algebrában az egészeket modulo ''m'' tekintjük. Ez azt jelenti, hogy az egész számok helyett a megfelelő [[maradékosztály]]okat vesszük, és az egész számok maradékával számolunk. Ez a [[maradékosztálygyűrű]]t adja.
*A [[zene]] matematikai elméletében fontos a 12 elemű mod 12 maradékosztálygyűrű, ahol az egyes elemek a [[zenei hang]]oknak felelnek meg.
*A modulo 2 maradékosztályok gyűrűjében (testében) az összeadás a [[Boole-algebra|Boole-algebrában]] a kizáró vagynak felel meg.
*A [[geometria|geometriában]] két szög mértékének összegét úgy is tekintik, mint a valós számok összegét modulo 2π. Ez megfeleltethető a körön végzett összeadásnak, ami tovább általánosítható több dimenziós [[tórusz]]okra.
Az absztrakt algebrában általában felteszik, hogy az összeadás kommutatív és asszociatív egy halmazon. Az alapvető algebrai struktúrák közül ilyenek például az Abel-csoportok, a kommutatív monoidok és a testek.
== Halmazelmélet ==
A természetes számok összeadásának általánosításai a [[számosság]]ok és a [[Rendszám (halmazelmélet)|rendszámok]] összeadása. Ezek [[transzfinit]] általánosítások, azaz [[végtelen]] nagy mennyiségekre terjesztik ki az összeadást. A számosságok összeadása kommutatív, a rendszámok összeadása nem.
==Lásd még==
*[[összegzés]]
*[[osztás]]
==Források==
{{források}}
===Elemi matematika===
*Davison, Landau, McCracken, and Thompson (1999). Mathematics: Explorations & Applications (TE ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-435817-1.
*F. Sparks and C. Rees (1979). A survey of basic mathematics. McGraw-Hill. ISBN 0-07-059902-5.
Education
*Begle, Edward (1975). The mathematics of the elementary school. McGraw-Hill. ISBN 0-07-004325-6.
California State Board of Education mathematics content standards Adopted December 1997, accessed December 2005.
*D. Devine, J. Olson, and M. Olson (1991). Elementary mathematics for teachers (2e ed.). Wiley. ISBN 0-471-85947-8.
National Research Council (2001). Adding it up: Helping children learn mathematics. National Academy Press. ISBN 0-309-06995-5. http://www.nap.edu/books/0309069955/html/index.html.
*Van de Walle, John (2004). Elementary and middle school mathematics: Teaching developmentally (5e ed.). Pearson. ISBN 0-205-38689-X.
===Kognitív tudományok===
*Baroody and Tiilikainen (2003). "Two perspectives on addition development". The development of arithmetic concepts and skills: 75. ISBN 0-8058-3155-X.
*Fosnot and Dolk (2001). Young mathematicians at work: Constructing number sense, addition, and subtraction. Heinemann. ISBN 0-325-00353-X.
*Weaver, J. Fred (1982). "Interpretations of number operations and symbolic representations of addition and subtraction". Addition and subtraction: A cognitive perspective: 60. ISBN 0-89859-171-6.
*Wynn, Karen (1998). "Numerical competence in infants". The development of mathematical skills: 3. ISBN 0-86377-816-X.
===Mathematical exposition=== <!--Ezt hogy lehet fordítani?-->
*Bogomolny, Alexander (1996). "Addition". Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles (cut-the-knot.org). http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/addition.shtml. Retrieved on 3 February 2006.
Dunham, William (1994). The mathematical universe. Wiley. ISBN 0-471-53656-3.
*Johnson, Paul (1975). From sticks and stones: Personal adventures in mathematics. Science Research Associates. ISBN 0-574-19115-1.
Linderholm, Carl (1971). Mathematics made difficult. Wolfe. ISBN 0-7234-0415-1.
*Smith, Frank (2002). The glass wall: Why mathematics can seem difficult. Teachers College Press. ISBN 0-8077-4242-2.
Smith, Karl (1980). The nature of modern mathematics (3e ed.). Wadsworth. ISBN 0-8185-0352-1.
===Felsőbb matematika===
*Bergman, George (2005). An invitation to general algebra and universal constructions (2.3e ed.). General Printing. ISBN 0-9655211-4-1. http://math.berkeley.edu/~gbergman/245/index.html.
*Burrill, Claude (1967). Foundations of real numbers. McGraw-Hill. LCC QA248.B95.
*D. Dummit and R. Foote (1999). Abstract algebra (2e ed.). Wiley. ISBN 0-471-36857-1.
*Enderton, Herbert (1977). Elements of set theory. Academic Press. ISBN 0-12-238440-7.
*Lee, John (2003). Introduction to smooth manifolds. Springer. ISBN 0-387-95448-1.
*Martin, John (2003). Introduction to languages and the theory of computation (3e ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-232200-4.
*Rudin, Walter (1976). Principles of mathematical analysis (3e ed.). *McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X.
*Stewart, James (1999). Calculus: Early transcendentals (4e ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-36298-2.
===Matematikai kutatások===
*Akian, Bapat, and Gaubert (2005). "Min-plus methods in eigenvalue perturbation theory and generalised Lidskii-Vishik-Ljusternik theorem". INRIA reports. http://arxiv.org/abs/math.SP/0402090.
*J. Baez and J. Dolan (2001). "From Finite Sets to Feynman Diagrams". Mathematics Unlimited— 2001 and Beyond: 29. ISBN 3-540-66913-2.
*Litvinov, Maslov, and Sobolevskii (1999). Idempotent mathematics and interval analysis. Reliable Computing, Kluwer.
*Loday, Jean-Louis (2002). "Arithmetree". J. Of Algebra 258: 275. doi:10.1016/S0021-8693(02)00510-0. http://arxiv.org/abs/math/0112034.
*Mikhalkin, Grigory (2006). "Tropical Geometry and its applications". To appear at the Madrid ICM. http://arxiv.org/abs/math.AG/0601041.
Viro, Oleg (2000). Dequantization of real algebraic geometry on logarithmic paper. (HTML) Plenary talk at 3rd ECM, Barcelona.
Computing
*M. Flynn and S. Oberman (2001). Advanced computer arithmetic design. Wiley. ISBN 0-471-41209-0.
*P. Horowitz and W. Hill (2001). The art of electronics (2e ed.). Cambridge UP. ISBN 0-521-37095-7.
*Jackson, Albert (1960). Analog computation. McGraw-Hill. LCC QA76.4 J3.
*T. Truitt and A. Rogers (1960). Basics of analog computers. John F. Rider. LCC QA76.4 T7.
[[Kategória:Matematika]]
| 