„Lagrange-féle középértéktétel” változatai közötti eltérés

A ''' Lagrange-féle középértéktétel ''' a [[matematika]], ezen belül az [[analízis]] egyik fontos tétele.

 

Ha ''f'' folytonos függvény a zárt <math>[a,b]</math> intervallumban és differenciálható a nyílt <math>(a,b)</math> intervallumban, akkor van olyan <math>a<c<b</math> szám, amire

<center><math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math></center>

teljesül.

 

A tételt visszavezetjük speciális esetére, [[Rolle tétele|Rolle tételére]]. Legyen <math>a\leq x\leq b</math>-re

<center><math>g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}x.</math></center>

<center><math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.</math></center>

 

A Lagrange-féle középértéktétel általánosítása a [[Cauchy-féle középértéktétel]].

 

Legyen <math>f:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}</math> az <math>(a,b)</math> szakaszon differenciálható függvény (<math>a,b\in \mathbb{R}^n</math>esetén az <math>(a,b)</math> szakaszon az <math>S=\{a+t(b-a)~|~t\in (0,1)\}</math> pontokat értjük). Ekkor van olyan <math>c\in S</math>, amelyre

<center><math>f(b)-f(a)=\langle\operatorname{grad}~f(c), b-a\rangle</math></center>

teljesül.

 

Legyen <math>g\left(t\right)=f(a+t(b-a)), </math> ez <math> \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}</math> függvény. Mivel <math>g</math> differenciálható a <math>(0,1)</math> intervallumon, ezért alkalmazhatjuk a tétel 1 dimenziós változatát, azaz <math>\exist \theta \in (0,1)</math>, hogy

<center><math>g\left(1\right)-g(0)=g'(\theta).</math></center>

[[sv:Medelvärdessatsen]]

[[th:ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย]]

[[uk:Теорема Лагранжа]]

[[zh:中值定理]]