„Operátornorma” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
10. sor:
Szemléletesen szólva a folytonos operátor egy vektort sem nyújt meg a ''c'' konstansnál nagyobb mértékben. Ezért korlátos halmaz folytonos képe szintén korlátos. Ezért is nevezik a folytonos lineáris operátorokat korlátos operátoroknak is. Ekkor az ''A'' operátor méréséhez adódik, hogy legyen a legkisebb olyan ''c'', amelyre fennáll a fenti egyenlőtlenség minden ''V'' beli ''v'' vektorra. Más szóval az operátort úgy mérhetjük, hogy megadjuk, legfeljebb hányszorosára nyújt meg tetszőleges vektort. Folytonos oprátorokra tehát értelmes a következő definíció:
: <math>\|A\|_{\mathrm{op}} = \inf\{c\in[0,+\infty) \mid (\forall v\in V) (\;\|Av\| \le c \|v\|\;)\}</math>
mely valóban teljesíti a normák tulajdonságait és amit operátornormának nevezünk. Az infimum (alsó határ) helyett minimum is írható, mert az összes ilyen ''c'' halmaza [[zárt halmaz|zárt]], nem [[üres halmaz|üres]] és alulról [[korlátos halmaz|korlátos]]. A definíció átfogalmazható úgy, hogy elegendő legyen csak a leképezés egységsugarú gömbökön
: <math>\|A\|_{\mathrm{op}} = \min\{\|Av\|:\|v\|=1,\;v\in V\}</math>
| |||