„Számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség” változatai közötti eltérés

a
BinBot politikailag semlegessé teszi a Wikipédiát. A bal oldal, jobb oldal két szó, ha nem politikai értelemben használjuk; a baloldalt, jobboldalt viszont egybeírandó. Kézi üzemmód.
a (Bot: következő hozzáadása: ca:Desigualtat entre les mitjanes aritmètica i geomètrica; kozmetikai változtatások)
a (BinBot politikailag semlegessé teszi a Wikipédiát. A bal oldal, jobb oldal két szó, ha nem politikai értelemben használjuk; a baloldalt, jobboldalt viszont egybeírandó. Kézi üzemmód.)
Összeszorozva ezeket azt kapjuk, hogy
<center><math>e^{\frac{a_1+\cdots+a_n}{A}-n}\geq \frac{a_1\cdots a_n}{A^n}.</math></center>
A baloldalbal oldal <math>a_1+\cdots+a_n=nA</math> miatt így alakítható:
<center><math>\,e^{n-n}=1</math></center>
és ezzel azt kaptuk, hogy <math>a_1\cdots a_n\leq A^n</math>, tehát készen vagyunk. Egyenlőség csak akkor áll, ha <math>\frac{a_1}{A}=\cdots=\frac{a_n}{A}=1</math>, azaz a számok egyenlőek. Ezt a bizonyítást [[Pólya György]] álmában találta.
168 346

szerkesztés