„Banach–Tarski-paradoxon” változatai közötti eltérés

a
nincs szerkesztési összefoglaló
(→‎Szabatos leírás: képaláírás pontosít)
a
A '''Banach–Tarski-paradoxon''' (más néven ''Hausdorff–Banach–Tarski paradoxon'') egy bizonyított matematikai [[tétel]], mely szerint egy 3 dimenziós, tömör gömböt a [[kiválasztási axióma]] felhasználásával fel lehet vágni véges sok olyan (nem [[Lebesgue-mérték|mérhető]]) darabra, amelyekből két, az eredeti gömbbel megegyező méretű tömör gömböt lehet összeálltani.
 
A [[paradoxon]]t [[Stefan Banach]] és [[Alfred Tarski]] bizonyította be [[1924]]-ben. Banach és Tarski ezt a bizonyítást annak szemléltetésére szánta, hogy a kiválasztási axióma helytelen. Ma azonban a matematikusok a bizonyítást helyesnek fogadják el, és nem az axiómát vetik el, hanem az eredményt elfogadják és egy érvényes [[tétel]]ként jegyzik. Így ez a [[matematikai bizonyítás|bizonyítás]] csupán egy antiintuitív eredményt ad, és az intuíciónk tévedhetőségét illusztrálja.
 
A paradoxon feloldásához azt kell figyelembe vennünk, hogy ami paradoxnak tűnik, az az, hogy a két gömb térfogata kétszer akkora, mint az egy gömb térfogata, az átdarabolás pedig „normális” esetben térfogattartó. Azonban a tételben szereplő átdarabolás nem mérhető darabokat ad, ez az oka annak, hogy a térfogat a művelet során nem marad meg. Fizikai értelemben nem volna lehetséges ez az átdarabolás, hiszen a valóságban csak [[Mértékelmélet (matematika)|mérhető]] darabokat tudunk létrehozni. (Az anyag [[kvantummechanika|kvantumos]] szerkezete egyébként is lehetetlenné tenné az átdarabolást.) Így tehát senki nem tud meggazdagodni egy aranygömb két aranygömbbé való átdarabolásával a tétel segítségével.