„Centrum (algebra)” változatai közötti eltérés

a
nincs szerkesztési összefoglaló
a
 
Érthetőbben, ha adott egy G = (U,×) [[grupoid]] , ahol × egy kétváltozós művelet U-n; akkor e grupoid '''centrum'''a a
<center> <math> Z(G) = Z_{G} = \left\{ z \in U \ | \ \forall g \in G \ : \ z \times gzg = g \times zgz \right\} </math> <math> = </math> <math> \left\{ z \in U \ | \ z \times GzG = G \times zGz \right\} </math> </center> halmaz .
 
Ha egy R = (U,+,×) kétműveletes algebrai struktúra, általában [[gyűrű]] van adva, akkor ennek centruma a multiplikatív (U,*) grupoid centruma (gyűrűkben ugyanis (U,+) kommutatív csoport, melynek centruma triviálisan önmaga).
== Egységelemes grupoid centruma ==
 
Ha G = (U, ×, e) [[egységelem]]es grupoid, azaz az e&isin;U elemre úgy hogy tetszőleges G-beli x elemre e×xex = x×exe = x ; akkor az egységelem természetesen definíciója szerint centrumelem, azaz ez esetben <math> e \in Z_{G} \ne \empty </math> .
 
== Félcsoport centruma ==
Ha G egy [[félcsoport]], azaz × [[asszociativitás|asszociatív]] művelet, akkor Z = Z(G)&le;G rész-félcsoportja G-nek, azaz zárt a × szorzásra.
 
Az asszociativitás szerint ugyanis minden a,b,c&isin;G-re (ab)c = a(b×cbc), tehát a u,z&isin;Z, azaz ux = xu és zx = xz tetszőleges G-beli x-re, akkor (uz)x = (u)(zx) = (u)(xz) = (ux)z = (xu)z = x(uz), tehát (uz)x = x(uz), az u×zuz elem felcserélhető eszerint bármely G-beli elemmel, ha u és z is; s eszerint eleme Z-nek.
 
== Csoport centruma ==
Ha G = (U, ×, e) egy [[csoport]], azaz × az asszociativitáson kívül még [[invertálható művelet]], tehát létezik az e egységelem; továbbá minden g&isin;G-hez egy g<sup>-1<sup>&isin;G úgy, hogy g×g<sup>-1<sup> = g<sup>-1<sup>×g = e, akkor a G struktúra centruma is részstruktúra G-ben, azaz Z = Z(G) [[részcsoport]] G-ben.
 
Hogy Z(G) = Z zárt a × műveletre, azt [[#Félcsoport centruma|fentebb]] már láttuk. Hogy Z nem üres, azaz az egységelem az eleme, [[#Egységelemes grupoid centruma|fentebb]] azt is láttuk. Elegendő tehát a Z invertálhatóságát belátni. Ez abból a tételből következik, hogy (a×bab)<sup>-1</sup> = a<sup>-1</sup>×bb<sup>-1</sup> tetszőleges G csoportban. Ekkor ugyanis ha z&isin;Z, azaz minden x-re z×xzx = x×zxz, akkor ezt az egyenlőséget invertálva, a baloldalból (z×xzx)<sup>-1</sup> = x<sup>-1</sup>×zz<sup>-1</sup> lesz, míg a jobboldalból (x×zxz)<sup>-1</sup> = z<sup>-1</sup>×xx<sup>-1</sup> , és ezek továbbra is egyenlőek: x<sup>-1</sup>×zz<sup>-1</sup> = z<sup>-1</sup>×xx<sup>-1</sup> ; s utóbbi (figyelembe véve, hogy az i(x): G&rarr;G; i(x) = x<sup>-1</sup> leképezés [[szürjektivitás|szürjektív]]) épp azt jelenti, z<sup>-1</sup>&isin;Z is centrumelem.
 
Ennél több is teljesül, nevezetesen a centrum [[normális részcsoport|normálosztó]] G-ben. Ez adódik a definícióból, hisz egy G csoport (tartóhalmazának) nem üres N részhalmaza definíció szerint épp akkor normálosztó, ha <math> \forall g \in G \ : \ g \times N = N \times g </math> .
 
A fenti állítás egy gyakran előforduló másféle bizonyítása a [[konjugált (csoportelmélet)|konjugálás]] nevű műveletre építkezik. Ha a,b&isin;G, akkor az a elem b-vel való konjugáltjának az a°b := b<sup>-1</sup>×a×bab elemet nevezzük; nem nehéz belátni, hogy egy egy N&le;G részcsoport akkor és csak akkor normális részcsoport G-ben, ha bármely elemének bármely G-beli elemmel való konjugáltja N-beli, azaz ha G<sup>-1</sup>NG=N.
* Ezt nem nehéz belátni: N definíció szerint akkor normális részcsoport, ha aN = Na bármely G-beli a-ra, azaz ha vannak olyan N-beli n,m elemek, hogy an = ma legyen, ekkor jobbról szorozva a inverzével, n°a = ana<sup>-1</sup> = m&isin;N tényleg igaz; ha pedig ez utóbbi igaz, akkor jobbról szorozva a-val an = ma adódik. Tehát a normálosztóság a konjugálással valóban így jellemezhető.
* Ha pedig így van, akkor elegendő megmutatni, hogy centrumelem bármely konjugáltja is centrumelem, és ebből következik, hogy a centrum normálosztó. Ha c&isinC(G), akkor tetszőleges g&isin;G-re gc = cg, ekkor szorozva g inverzével jobbról, gcg<sup>-1</sup> = c &isin; C(G), tehát C(G) normálosztó. Sőt az is látható, hogy épp a centrum elemei azok, melyeket bármely elemmel való konjugálás helybenhagy.