„Lineáris differenciálegyenlet” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
→Periodikus rendszerek: ω szerint periodikus megoldások létezése homogén rendszeresetén |
→Periodikus rendszerek: inhomogén eset |
||
62. sor:
Ha Φ a homogén <math>y' = A(x)y</math> rendszer alaprendszere, akkor <math>\Phi(\omega)\Phi(0)^{-1}</math> sajátértékei a homogén rendszer ''karakterisztikus multiplikátorai''. A karakterisztikus multiplikátorok nem függnek az alaprendszer választásától. Egy tétel szerint a homogén <math>y' = A(x)y</math> rendszernek akkor és csak akkor vannak nem triviális ω szerint periodikus megoldásai, ha 1 karakterisztikus multiplikátora a homogén rendszernek.
Inhomogén esetben tekintjük a <math>y' = -A(x)^Ty</math> egyenlet ω szerint periodikus megoldásait:
:<math>L_\omega^\star := \{y \in C^1(\mathbb{R}; \mathbb{R}^m)\ |\ y'(x) = -A(x)^Ty(x)\ \textrm{und}\ y\ \omega\textrm{-periodisch}\}\ .</math>
Ekkor a <math>y'=A(x)y+ b(x)</math> rendszernek akkor és csak akkor van ω szerint periodikus nem triviális megoldása, ha <math>\int_0^\omega \langle y(s), b(s)\rangle{\rm d}s = 0</math> teljesül minden <math>y \in L_\omega^\star</math>-ra.
Belátható, hogy <math>\dim L_\omega = \dim L_\omega^\star</math>.
A <math>y'=A(x)y+ b(x)</math> rendszernek tehát minden ''b''-re van ω szerint periodikus megoldása, függetlenül <math>y' = A(x)y</math> karakterisztikus multiplikátoraitól.
==Források==
| |||