Wikipédia

„Rolle-tétel” változatai közötti eltérés

Laptörténet interaktív böngészése
[nem ellenőrzött változat][nem ellenőrzött változat]
← Régebbi szerkesztésÚjabb szerkesztés →
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
VizuálisWikiszöveges
Ábra Rolle tételéhez
Nincs szerkesztési összefoglaló
1. sor:
A [[matematikai analízisbenanalízis]]ben '''Rolle tétele''' vagy a '''Roll-féle középértéktétel''' az egyik fontos és gyakran használtalkalmazott tétel, ami kapcsolatotegy teremtintervallumon egyértelmezett differenciálható függvény és„vízszintes” értintőjének létezésére deriváltjaad tulajdonságaielégséges közöttfeltételt.
 
==A tétel állítása==
[[Image:Rolle's theorem.svg|thumb|300px|Ábra Rolle tételéhez]]
Ha az <math>f</math> függvény folytonos az <math>[a,b]</math> intervallumban, differenciálható az intervallum belső pontjaiban és
:<math>f(a)=f(b)</math>,
akkor van olyan <math>a<c<b</math> szám, hogy
:<math>f</math> '<math>(c)=0</math>
teljesül.
 
==Bizonyítása==
Ha az <math>f</math> függvény az <math>(a,b)</math> intervallumon végig az <math>f(a)=f(b)</math> értéket veszi fel, akkor konstans, tehát deriváltja mindenütt 0. Tegyük fel tehát, hogy egy pontban <math>f</math> értéke ettől eltér, mondjuk, nagyobb. [[Karl Weierstrass|Weierstrass]] [[Weierstrass tétele|tétele]] szerint a függvény az <math>[a,b]</math> intervallumban valahol felveszi maximumát. Legyen, mondjuk <math>c</math> egy olyan pont, ahol felveszi a maximális értéket. A feltevés szerint <math>c</math> nem lehet <math>a</math>-val vagy <math>b</math>-vel egyenlő.
 
Így <math>f</math> <math>c</math>-ben differenciálható, és deriváltja csak 0 lehet.
Tegyük fel, hogy egy pontban <math>f</math> értéke ettől eltér, mondjuk. Az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy ez az érték nagyobb <math>f(a)=f(b)</math>-nél (ellenkező esetben ugyanezt a gondolatmenetet a -f függvényre kell alkalmaznunk). [[Weierstrass tétele]] szerint a függvény az <math>[a,b]</math> intervallumban valahol felveszi maximumát. Legyen <math>c</math> egy ilyen pont. <math>c</math> nem lehet <math>a</math>-val vagy <math>b</math>-vel egyenlő, mert akkor lenne nála nagyobb értékű hely, ami ellentmond f(c) maximális tulajdonságának. Mivel <math>f</math> a <math>c</math>-ben (mely az értelemezési tartomány belső pontjában van) differenciálható és ott maximuma van, ezért a szélsőértékekre vonatkozó [[Fermat-tétel (analízis)|Fermat-tétel]] miatt ott a deriváltja 0.
 
==Általánosítása==
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/wiki/Rolle-tétel”