„Fermat-tétel (analízis)” változatai közötti eltérés

 
 
==Bizonyítás==
''Bizonyítás.'' Tegyük fel, hogy ''u''-ban a függvénynek lokális minimuma van (ellenkező esetben alkalmazzuk a tételt ''-f'' -re). Legyen V olyan nyílt környezete ''u''-nak, ahol ''f'' értékei nem kisebbek mint ''f(u)'' (azaz a minimumérték). Tetszőleges, V-beli és az értelmezési tartománybeli olyan x-szel, melyre x > u teljesül:
 
===A sztenderd analízis eszközeivel===
''Bizonyítás.'' Tegyük fel, hogy ''u''-ban a függvénynek lokális minimuma van (ellenkező esetben alkalmazzuk a tételt ''-f'' -re). Legyen V olyan nyílt környezete ''u''-nak, ahol ''f'' értékei nem kisebbek mint ''f(u)'' (azaz a minimumérték). Tetszőleges, V-beli és az értelmezési tartománybeli olyan x-szel, melyre x > u teljesül:
:<math>f(x)-f(u)\geq 0\,</math>
így
 
''Megjegyzés.'' A bizonyításból kiderül, hogy a tétel akkor is igaz, ha ''u'' nem feltétlenül belső pontja az értelmezési tartománynak, hanem olyan pontja, mely mind baloldali, mind jobboldali torlódási pontja. Természetesen ekkor a derivált definícióját ki kell terjeszteni az ilyen pontokra. Ekkor azonban fontos megjegyezni, hogy például egy intervallum két vépontjára, mint ''u''-ra felírva nem teljesül a Fermat-tétel feltétele (ahogy nem is igaz a tétel sem!).
 
===A nemsztenderd analízis eszközeivel===
 
A differenciálhatóságból következik, hogy létezik olyan c szetenderd valós szám, hogy tetszőleges ''h'' végtelenül kicsiny nemsztenderd számra:
:<math>c\approx \frac{f(u+h)-f(u)}{h}</math>
Tegyük fel, hogy ''u''-ban a függvénynek lokális minimuma van (ellenkező esetben alkalmazzuk a tételt ''-f'' -re). Ebből következik, hogy tetszőleges ''h'' ''pozitív'' végtelenül kicsiny számra:
:<math>c\approx \frac{f(u-h)-f(u)}{-h} \leq 0\leq \frac{f(u+h)-f(u)}{h}\approx c</math>
így
:<math>c\approx 0</math>
, amiből – tekintve, hogy c sztenderd szám – a kívánt f '(u) = c = 0 egyenlőség következik.
 
== Többdimenziós általánosítás==