„Rolle-tétel” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
21. sor:
''Bizonyítás.'' Indirekt módon tegyük fel, hogy minden ''x'' ∈ int( <math>I</math> ) belső pont esetén ''f'' '(''x'') > 0 vagy ''f'' '(''x'') < 0. Ekkor speciálisan az is igaz, hogy minden ''x'' ∈ int( <math>I</math> )-re ''f'' '(''x'') > 0 vagy minden ''x'' ∈ int( <math>I</math> )-re ''f'' '(''x'') < 0, ugyanis ha lenne ''a'' < ''b'' int( <math>I</math> )-beli elem, hogy ''f'' '(''a'') és ''f'' '(''b'') ellenkező előjelű (nem nulla), akkor a [[Darboux-tétel]]t alkalmazva lenne olyan ''c'' pont az [''a'',''b''] zárt halmazon, hogy ''f'' '(''c'') = 0, ami ellentmond az indirekt feltételnek. Ha ezzel szemben ''f'' az int( <math>I</math> ) halmazon állandó előjelű, akkor szigorúan monoton, ami meg annak mond ellent, hogy lim<sub>''α''<sub> ''f'' = lim<sub>''β''<sub> ''f'', tehát mindenképpen ellentmondásra jutunk. <big>[[QED| ■ ]]</big>
Ilyen például az
:<math>x\mapsto e^{-x^2}</math>
függvény.
Egy másik általánosítás a differenciálhatósági feltételen lazít.
'''Tétel''' – Ha az ''f'' : [''a'',''b'']<math>\rightarrow</math>'''R''' korlátos, zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény olyan, hogy ''f''(''a'') = ''f''(''b'') és az ''I'' minden belső pontjában vagy differenciálható ''f'', vagy a különbségi hányadosnak létezik +∞ vagy -∞ értékű határértéke, akkor létezik olyan ''ξ'' ∈ int( <math>I</math> ) pont, hogy ''f'' '( ''ξ'' ) = 0.
Ilyen például a [-2,2]-n értelmezett
:<math>x\mapsto \mathrm{sgn}(1-x^2)\sqrt{|1-x^2|}</math>
függvény.
A tétel fontos általánosítása még a [[Lagrange-féle középértéktétel]] is
:<math>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>
meredekségű érintő létezésére ad elégséges feltételt (f(b)=f(a) esetén persze megkapjuk a Rolle-tételt).
[[Kategória: Analízis]]
| |||