„Fermat-tétel (analízis)” változatai közötti eltérés

a
→‎Bizonyítás: kisebb formai javítások,
a (Ne politizáljunk, ahol nem kell. :-) A bal oldal, jobb oldal két szó, ha nem politikai értelemben használjuk; a baloldalt, jobboldalt viszont egybeírandó. Botszerkesztés kézi üzemmódban.)
a (→‎Bizonyítás: kisebb formai javítások,)
:<math>f'(u)=\lim\limits_{x\to u-}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}\leq 0</math>
f'(u) ≥ 0 és f'(u) ≤ 0 miatt pedig:
:<math>f'(u)=0\,</math>. <big><big><big>[[Quod erat demonstrandum| ]]</big></big></big>
 
''Megjegyzés.'' A bizonyításból kiderül, hogy a tétel akkor is igaz, ha ''u'' nem feltétlenül belső pontja az értelmezési tartománynak, hanem olyan pontja, mely mind bal oldali, mind jobb oldali torlódási pontja. Természetesen ekkor a derivált definícióját ki kell terjeszteni az ilyen pontokra. Ekkor azonban fontos megjegyezni, hogy például egy intervallum két vépontjára, mint ''u''-ra felírva nem teljesül a Fermat-tétel feltétele (ahogy nem is igaz a tétel sem!).
Az u-beli differenciálhatóság és az átviteli elv miatt a lent szereplő határértékek léteznek és a következő egyenlőtlenségek igazak rájuk:
:<math>f'(u)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{f(u+x_{2n+1})-f(u)}{x_{2n+1}}\leq 0\leq\lim\limits_{n\to\infty}\frac{f(u+x_{2n})-f(u)}{x_{2n}}=f'(u)</math>
ahonnan f '(u) = 0 következik.<big><big><big>[[Quod erat demonstrandum| ]]</big></big></big>
 
===A nemsztenderd analízis eszközeivel===
így
:<math>c\cong 0</math>
, amiből – tekintve, hogy c sztenderd szám – a kívánt f '(u) = c = 0 egyenlőség következik. <big><big><big>[[Quod erat demonstrandum| ]]</big></big></big>
 
== Többdimenziós általánosítás==
247 461

szerkesztés