„Folytonos függvény” változatai közötti eltérés

[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
BOTijo (vitalap | szerkesztései)
a BOT - Adding link to Commons: Continuous function
SamatBot (vitalap | szerkesztései)
a kisebb formai javítások,
7. sor:
=== Definíció ===
 
Azt mondjuk, hogy a [[valós számok]] egy ''A'' részhalmazán értelmezett ''f'': ''A'' → '''R''' függvény '''folytonos''' az értelmezési tartományának egy ''u'' pontjában, ha minden ε pozitív számhoz létezik olyan δ pozitív szám, hogy minden olyan ''x'' ∈ ''A'' számra, amely ''u''-tól δ-nál kisebb mértékben tér el, teljesül, hogy az ''f''(''x'') függvényérték ε-nál kisebb távolságra van ''f''(''u'')-tól. Azaz
 
: <math> \forall \varepsilon > 0\quad \exists \delta > 0\quad \forall x \in A \quad (\;|x - u | < \delta \;\Rightarrow \; | f(x) - f(u) | < \varepsilon) </math>
14. sor:
 
=== Folytonosság határértékkel történő jellemzése ===
Legyen ''f'' a valós számok egy ''A'' részhalmazán értelmezett, valós értékű függvény és legyen ''x'' &isin; ''A''. Az, hogy az ''f'' függvény az ''u'' pontban folytonos, egyenértékű azzal, hogy
*''u'' az ''A''-nak vagy [[izolált pont]]ja, vagy
*''u'' az ''A''-nak [[torlódási pont]]ja és létezik és ''f''(''u'')-val egyenlő az
24. sor:
Ezt még ''Heine-féle definíció''nak illetve a ''folytonosságra vonatkozó átviteli elv''nek is szokták nevezni.
Az ''f'' valós számok halmazának egy ''A'' részhalmazán értelmezett valós értékű függvény akkor és csak akkor folytonos az ''x'' &isin; ''A'' pontban, ha minden, az értelmezési tartományában haladó, ''u''-hoz konvergáló (''x''<sub>''n''</sub>) sorozat esetén a függvényértékek (''f''(''x''<sub>''n''</sub>)) sorozata is konvergens és az ''f''(''u'') számhoz tart, azaz
:<math>\forall (x_n):\mathbb{N}\to A\quad (\;\lim\limits_{n\to \infty} x_n=u \;\Rightarrow \;\lim\limits_{n\to \infty}f(x_n)=f(u)</math>
 
71. sor:
 
{{Link FA|mk}}
 
[[en:Continuous function]]
[[ar:دالة مستمرة]]