„Ideál (gyűrűelmélet)” változatai közötti eltérés

balideál, jobbideál
[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
(balideál, jobbideál)
Az [[absztrakt algebra]] [[gyűrűelmélet]] nevű ágában '''ideál'''nak nevezzük az <math>R</math> gyűrű <math>I</math> részhalmazát, ha <math>I</math> részgyűrűje <math>R</math>-nek és minden <math>r\in R, s\in I</math>-re <math>rs\in SI</math> és <math>sr\in SI</math>. Ezt a kapcsolatot <math>R</math> és <math>I</math> között az <math>I \triangleleft R</math> szimbólummal jelöljük.
 
== Példák ==
 
Tetszőleges gyűrű ideál saját magában (azaz <math>R \triangleleft R</math> mindig fennáll), és bármely gyűrűben ideál a pusztán a nullelemből álló zérógyűrű. Ezeket gyakran '''triviális ideál'''nak, az ezektől különböző ideálokat pedig '''valódi ideál'''nak nevezzük. Egyszerű gyűrű az olyan gyűrű, amelynek csak triviális ideáljai vannak. Ha egy ideál tartalmaz egy egységet, akkor triviális ideál. Minden [[ferdetest]] egyszerű gyűrű, hiszen ferdetestben minden nemnulla elem egység. Ideálok metszete maga is ideál.
 
== Balideál, jobbideál ==
 
Ha <math>R</math> nem kommutatív, akkor vizsgálhatjuk <math>R</math> azon <math>I</math> részgyűrűit, amelyekre <math>r\in R, s\in I</math> esetén teljesül <math>rs\in I</math> (de <math>sr\in I</math> nem feltétlenül). Az ilyen <math>I</math> részgyűrűket balideálnak nevezzük. Hasonlóan, ha <math>r\in R, s\in I</math> esetén teljesül <math>sr\in I</math>, akkor I-t jobbideálnak nevezzük. Néha a bal- illetve a jobbidáloktól való különbséget hangsúlyozandó az ideálokat kétoldali ideálnak is nevezzük. I akkor és csak akkor kétoldali ideál, ha egyszerre balideál és jobbideál is.
 
A valós számtest feletti 2×2-es mátrixok gyűrűjében balideált (de nem jobbideált) alkotnak azok a mátrixok, amelyeknek a második oszlopában csupa 0 áll. Ugyanebben a gyűrűben jobbideált (de nem balideált) alkotnak azok a mátrixok, amelyeknek második sorában csupa 0 áll.
 
== Forrás ==