„Kihajlás” változatai közötti eltérés

7 bájt hozzáadva ,  10 évvel ezelőtt
a
→‎Euler képlete: correct final pattern
a (→‎Tetmajer képlete: kisebb formai javítások,)
a (→‎Euler képlete: correct final pattern)
 
[[Leonhard Euler]] [[1757]]-ben a meghatározta a kritikus törőerő nagyságát arra az esetre, ha a törőerő által okozott nyomófeszültség kisebb, mint a rúd anyagának [[folyáshatár]]a, más szóval, ha rugalmas kihajlás esete forog fenn. Ebben az esetben felírható a rugalmas szál [[differenciálegyenlet]]e:
:<math>\frac {d^2y}{dx^2} =-\frac{M}{I_2EIE} </math>,
ahol az ''x'' tengelyt a rúd tengelyében vesszük fel, [[Koordinátarendszer|origó]]jával a rúd egyik csuklós végpontjában (ahol a csukló miatt nyomaték nem ébredhet), az ''y'' tengely erre merőleges, ''M'' a rúd egy tetszőleges pontját terhelő hajlító [[nyomaték]], ''I<sub>2</sub>'' a rúd keresztmetszetének legkisebb [[másodrendű nyomaték]]a, ''E'' pedig a rúd anyagának [[rugalmassági modulus]]a. Az ''M'' hajlítónyomaték az ''F<sub>t</sub>'' törőerő és az ''y'' kitérés szorzata:
:<math>M=F_ty \,</math>.
Végül, ha bevezetjük az
:<math>\alpha^2 =\frac{F_t}{I_2EIE} </math>
jelölést, a [[differenciálegyenlet]] ilyen alakú lesz:
:<math>y^{\prime\prime} + \alpha^2y = 0 </math>.
Ez utóbbi nem triviális megoldásaiból gyakorlatilag az az érdekes eset, ha <math> \alpha l = \pi \frac{}{} </math>.
Visszahelyettesítve az értékeket a kritikus törőerő értékét kapjuk:
:<math> F_t = \left ( \frac{\pi}{l} \right )^2I_2E2IE </math>.
Ha a nyomott rúd nem csuklóval rendelkezik a végén, a differenciálegyenlet azonos lesz, csak a peremfeltételek lesznek eltérőek és ezek befolyásolják a törőerő nagyságát. Az alábbi ábra szerinti esetekre összefoglalóan a következő összefüggés írható:
:<math> F_t = \left ( \frac{\pi}{\mu ll_{r}} \right )^2I_2E2IE </math>,
 
:<math>l_{r}=\mu{l}\,</math>
ahol μ a befogás fajtájától függő tényező, értéke az ábrán látható.
 
:<math>\sigma_t = \frac{F_t}{T} </math>,
ahol ''T'' a keresztmetszet területe. A másodrendű nyomaték az ''i'' inerciasugárral is felírható:
:<math>I_2I = i_2i^2T2 T \,</math>,
és bevezetve a
:<math>\lambda = \frac{ll_{r}}{i_2i} </math>,
karcsúságot, az Euler-képlet a törőfeszültségre így írható:
:<math> \sigma_t = \left ( \frac{\pi}{\mu \lambda} \right )^2E </math>,
 
== Tetmajer képlete ==
2

szerkesztés