„Számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség” változatai közötti eltérés

a (BinBot politikailag semlegessé teszi a Wikipédiát. A bal oldal, jobb oldal két szó, ha nem politikai értelemben használjuk; a baloldalt, jobboldalt viszont egybeírandó. Kézi üzemmód.)
 
{{csonk-dátum|csonk-szakasz|2005 októberéből}}
===Valós szám és reciprokának összege nem kisebb 2-nél===
A tétel segítégégvel bebizonyítható, hogy ha <math>a>0, a\in\mathbb{R}</math>, akkor
<math>a+\frac{1}{a}\ge2</math>. Ugyanis <math>\frac{a+\frac{1}{a}}{2}\ge\sqrt{a\cdot\frac{1}{a}}</math>
egyenlőtlenség a tétel miatt igaz, hiszen a bal oldalon a és <math>\frac{1}{a}</math> számtani, míg a jobb oldalon a mértani közepük van. A jobb oldalon a gyök alatt 1 van, és mivel <math>\sqrt{1}=1</math>, ezért
<math>\frac{a+\frac{1}{a}}{2}\ge1</math>, és 2-vel szorozva
<math>a+\frac{1}{a}\ge2</math>. [[QED]]
 
== A tétel súlyozott változata ==