„Számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség” változatai közötti eltérés

 

<math>a_1=\dots=a_n</math> esetén az egyenlőség nyilvánvalóan teljesül, hiszen ekkor <math>A_n=\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}=\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}</math>. Amennyiben a számok nem egyenlőek, feltehető, hogy létezik közöttük legkisebb és legnagyobb elem, például <math>\min(a_i) = a_1 < A_n < a_2 = \max(a_i) (1\leq i\leq n)</math>. Helyettesítsük ebben az esetben <math>\,a_1</math> helyébe az <math>\,A_n</math>, <math>\,a_2</math> helyébe pedig az <math>\,a_1+a_2-A_n</math> értéket. Ezzel a helyettesítéssel a számtani középérték nem változott, hiszen

a mértani középérték viszont

<center><math>A_n(a_1+a_2-A_n)-a_1a_2=(a_1-A_n)(A_n-a_2)\geq 0</math></center>