„Számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
vessző áthelyezése |
vessző áthelyezése |
||
47. sor:
'''c.''') Egyfajta fordított irányú indukciót alkalmazva igazoljuk, hogy ha <math>\,n+1</math>-re igaz az állítás, akkor <math>\,n</math>-re is teljesül, és így minden természetes számra fennáll. Az <math>a_1,\dots,a_n</math> nemnegatív valós számokhoz vegyük ugyanis hozzá <math>\,(n+1)</math>-dik elemként a számok számtani középértékét, az <math>a_{n+1}=\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}=A_n</math> számot. Az indukciós feltevésből kiindulva, ekkor, ekvivalens átalakításokkal:
<center><math>A_n=\frac{a_1+\cdots+a_n+A_n}{n+1}\geq\sqrt[n+1]{a_1\cdots a_nA_n}</math><br /><br /><math>A_n^{n+1}\geq a_1\cdots a_nA_n</math><br /><br /><math>A_n^n\geq a_1\cdots a_n</math><br /><br /><math>A_n\geq\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}</math>,</center>
amit bizonyítani kellett.
| |||