minden n természetes számra, ahol μ(k) a [[Möbius-függvény]]. [[Franz Mertens]] német matematikusról nevezték el.
Mivel a Möbius-függvény csak −1, 0 és +1 értékeket vehet fel, nyilvánvaló, hogy a Mertens-függvény értéke csak lassan változik, és hogyminden nincsen''x''-re olyan|''M''(''x'')| ≤ ''x''. A hiperbola-módszerrel közvetlenül adódik, amirehogy a [[prímszámtétel]] ekvivalens azzal, hogy ''M''(''x'') > =''o''(''x''). A Mertens[[Riemann-sejtés]] ennélpedig továbbazzal megyekvivalens, hogy minden ε>0-ra <math>M(x) = O(x^{\frac12 + \epsilon})</math>. Mertens 1897-ben felállította azt állítvaa sokkal erősebb sejtést, hogy nincs olyanalkalmas ''xc''-re <math>|M(x)|\leq c\sqrt{x}</math>, amiresőt, ahogy Mertens-függvény''c''=1 abszolútmegfelel, értékbenazaz meghaladná<math>|M(x)|\leq\sqrt{x}</math> teljesül minden ''x'' négyzetgyökét-re. BárEbben a Mertens-sejtéstsejtésben [[1985]]lényegében senki nem hitt, mégis csak 1983-benban sikerült megcáfolnia A. M. Odlyzkonak és H. J. J. te Rielének hosszadalmas számítógépes kutatás cáfoltáksegítségével, aami felhasználta [[Riemann-sejtésLovász László]] ekvivalensnevezetes egyLLL-algoritmusát. gyengébbEljárásuk sejtésselazonban csak olyan ''Mx'' (''y'')növekedéséről:szám létezését adta, amire <math>|M(x) = o(x^{|>\frac12 + \epsilonsqrt{x})</math>, nem sikerült becslést adniuk ''x'' nagységéra. 1985-ben [[Pintz János]] mély analitikus módszerek segítségével belátta, hogy van ilyen x
