„Ötödfokú egyenlet” változatai közötti eltérés

nincs szerkesztési összefoglaló
(csonk)
:<math>ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0,\,</math>
ahol <math>a, b, c, d, e, f\,</math> egy [[Test_(algebra)|test]] elemei, általában a [[racionális szám]]ok, a [[valós szám]]ok, vagy a [[komplex szám]]ok elemei, valamint <math>a \neq 0.</math>
 
 
Mivel páratlan fokú, ezért általában hasonlít a képe a harmadfokú egyenlet képéhez, azzal a kivétellel, hogy egy további lokális maximum és minimum pontja van. A deriváltja egy negyedfokú függvény.
 
== Ötödfokú egyenlet gyökeinek meghatározása ==
 
Egy polinom gyökeinek meghatározása &mdash; azon <math>x</math> értékek, melyek teljesítik az egyenletet &mdash; racionális együtthatók esetében kiemelkedő matematikai probléma volt.
 
Lineáris, másod-, harmad- és negyedfokú egyenletek megoldása egyszerű, függetlenül attól, hogy a gyökök racionálisak, irracionálisak, valósak vagy komplexek; vannak megoldóképleteik. Azonban nincs olyan képlet, ami a négy alapművelet és az <math>n</math>-edik gyökvonás segítségével kifejezhetné a megoldásokat általános esetben; ez az Abel-Ruffini tétel, melyet először 1824-ben publikáltak mint az egyik első alkalmazását az algebrai [[csoportelmélet]]nek. Ez az eredmény igaz magasabb fokú egyenletekre is. Egy példa olyan egyenletre mely nem fejezhető így ki a <math>x^5 - x + 1 = 0</math>. Ez az egyenlet Bring-Jerrard normál alakban van.
 
A gyakorlatban ploinomegyenletek pontos megoldása gyakran felesleges és más numerikus megoldó módszerek, mint például a [[Laguerre módszer]], vagy a [[Jenkins-Traub algoritmus]] valószínűleg a legalkalmasabbak arra, hogy megkapjuk általános ötöd vagy magasabb fokú egyeletek közelítő megoldásait. Azonban a pontos megoldások néha hasznosak bizonyos alkalmazásokhoz és sok matematikus próbálta meghatározni ezeket.
 
== Megoldható ötödfokú egyenletek ==
Néhány ötödfokú egyenlet megoldható úgy, hogy alacsonyabb fokú polinomok szorzataként fejezzük ki, például <math>x^5 - x^4 - x + 1 = 0\,</math> felírható mint <math>(x^2 + 1) (x + 1) (x - 1)^2 = 0\,</math>. Más ötödfokú egyenlet mint például a <math>x^5 - x + 1 = 0\,</math> nem fejezhető ki ilyen alakban. [[Évariste Galois]] kifejlesztett eljárásokat annak meghatározására, hogy egy polinom-egyenlet mikor fejezhető ki polinomok szorzataként, ezzel megalkotva a [[Galois elmélet]] területét. Ezeket az eljárásokat először [[John Stuart Glashan]], [[George Paxton Young]], és [[Carl Runge]] alkalmazta [[1885]]-ben, hogy általános kritériumot adjanak a megoldhatóságra (Lazard egy modern megközelítése található a referenciákban).
Azt találták, hogy bármely [[Irreducibilis polinom|irreducibilis]] ötödfukó polinom racionális együtthetókkal [[Erland Samuel Bring|Bring]]-[[George Jerrard|Jerrard]] formában,
 
:<math>x^5 + ax + b = 0\,</math>
 
gyökökkel kifejezhető megoldású akkor és csak akkor, ha a következő alakú:
 
:<math>x^5 + \frac{5\mu^4(4\nu + 3)}{\nu^2 + 1}x + \frac{4\mu^5(2\nu + 1)(4\nu + 3)}{\nu^2 + 1} = 0</math>
 
ahol <math>\mu</math> és <math>\nu</math> racionálisak. [[1994]]-ben, Blair Spearman és Kenneth S. Williams egy alternatív kritériumot talált,
 
:<math>x^5 + \frac{5e^4(\pm 4c + 3)}{c^2 + 1}x + \frac{-4e^5(\pm 11+2c)}{c^2 + 1} = 0.</math>
 
A kapcsolatot a [[1885]]-i és a [[1994]]-i parametrizáció között egyszerűen látható, ha a következőt definiáljuk
:<math>b = \frac{4}{5} \left(a+20 \pm 2\sqrt{(20-a)(5+a)}\right)</math>
 
ahol
 
:<math>a = \frac{5(4\nu+3)}{\nu^2+1}</math>
 
Szükséges, de nem elegendő feltétel, hogy az irreducibilis megoldható ötödfokú egyenlet
 
:<math>z^5 + a\mu^4z + b\mu^5 = 0\,</math>
 
racionális együtthatókkal megfeleljen a következő négyzetes görbének
:<math>y^2 = (20-a)(5+a)\,</math>
 
valamelz racionális <math>a, y</math>.
 
Mivel a [[Tschirnhaus transzformáció]]k megfontolt használatával lehetséges bármely ötödfokú polinomot átalakítani Bring-Jerrard formára, mindkét parametrizáció egy szükséges és elégséges feltételt ad annak eldöntésére, hogy az adott ötödfokú egyenlet gyökei kifejezhetőek-e gyökvonásokkal..
 
== Referenciák ==
* Daniel Lazard, "Solving quintics in radicals", ''[[Olav Arnfinn Laudal]], [[Ragni Piene]], The Legacy of Niels Henrik Abel'', pp.&nbsp;207–225, Berlin, 2004,. ISBN 3-5404-3826-2.
 
{{csonk-matematika}}
[[Kategória:Elemi algebra]]
 
[[ca:Equació de cinquè grau]]
[[en:Quintic equation]]
[[de:Gleichung fünften Grades]]
[[es:Ecuación de quinto grado]]
[[fr:Équation quintique]]
[[hu:Ötödfokú egyenlet]]
[[nl:Vijfdegraadsvergelijking]]
[[ja:五次方程式]]
[[pt:Equação do quinto grau]]
[[ru:Проблема уравнений 5-й и высших степеней]]
[[fi:Viidennen asteen yhtälö]]
[[zh:五次方程]]
4

szerkesztés