„Peano-aritmetika” változatai közötti eltérés

[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
DeniBot (vitalap | szerkesztései)
a <references /> helyére {{források}}
252. sor:
<center><math>\scriptstyle{PA\vdash \forall x (\forall y(y<x \rightarrow F(y))\rightarrow F(x))\rightarrow \forall z(F(z))}</math></center>
 
EnnekAz azegyik éremneklegfontosabb akövetkezménye másik oldalaennek az ún. ''legkisebb szám elve'', miszerint ha egy tulajdonság igaz minden számra, akkor van legkisebb szám is, amelyre igaz.<ref>{{Opcit|n =George Boolos|c =The Logic of Provability |k = |f = 2 |sz = |o =23}}</ref>
 
<center><math>\scriptstyle{PA\vdash \forall z F(z)\rightarrow \exists x(F(x)\land \forall y(y<x \rightarrow \lnot F(y)))}</math></center>
 
Ez tulajdonképpen a halmazelméleti [[jólrendezés]] megfogalmazása: Mivel minden ilyen tulajdonságnak egy halmaz fog majd megfelelni a modellben (azok halmaza, amelyekre igaz), ez azt mondja, hogy minden ilyen halmaznak lesz egy legkisebb eleme. A jólrendezettség persze csak másodrendben definiálható tulajdonság, de ez a két formula sem egy bizonyos tétel, hanem mint a teljes indukció, tételsémák.
 
Ez tehát az az elv, amit akkor használunk, mikor az ún. végtelen leszállásra hivatkozva bizonyítunk. Ez a következőt jelenti: egy indirekt feltevés oda vezet, hogy ha a tulajdonság igaz egy természetes számra, akkor igaz egy nála (szigorúan) kisebb természetes számra is. Ez végtelen leszállásra vezet, azonban tudjuk, hogy a természetes számok [[Jólrendezett halmaz|jólrendezett számhalmaz]]. Innen nyerjük az ellentmondást.