„Absztrakt algebra” változatai közötti eltérés

 

Az '''absztrakt algebra''' a [[matematika]], és azon belül az [[algebra]] egyik ága, amely konkrét [[algebrai struktúra]]osztályokat illetve ezek közti viszonyokat vizsgál, így a [[csoport (matematika)|csoportokat]], [[gyűrű (matematika)|gyűrűket]], [[test (matematika)|testeket]], [[modulus (matematika)|modulusokat]], [[vektortér|vektortereket]]. Legtöbbször egyszerűen ''algebrának'' is nevezik.

== Alapvető fogalmak ==

=== Halmaz ===

Az algebrában a műveleteket (lásd [[Absztrakt algebra #Műveletek|lentebb]]) bizonyos összességek elemei között végezzük. Ezek az összességek az absztrakt algebrában halmazok, azaz olyan matematikai objektumok, melyek tulajdonságait a [[halmazelmélet]] írja le. Mindazonáltal az algebra a halmazokkal konkrétan nem foglalkozik, csak az elemeik közötti műveletekkel. Például az alábbi halmazok olyanok, melyek elemei között jól ismert, nevezetes vagy jellegzetes műveletek értelmezhetők:

* [[Természetes szám]]ok (<math>\mathbb{N}</math>)

 

=== Műveletek ===

 

A '''[[matematikai művelet]]''' fogalmán általában a belső műveletet értjük. ''A'' halmazon végzett műveleten alatt olyan <math>\phi</math> leképezést értünk, hogy <math>\phi : A^n \rightarrow A </math>, azaz minden ''A'' halmazból képzett elem-n-eshez hozzárendüljük ''A'' egy elemét.

 

A legtöbbet használt ''kétváltozós művelet'' esetén a halmaz minden elempárjához rendelünk egy harmadik elemet. Példák:

* Szorzás az egész számok halmazán, <math>(\mathbb{Z},\cdot)</math>

Ellenpélda a skalárszorzás művelete 3-dimenziós vektorok halmazán, hiszen a végeredmény 1-dimenziós vektor, skalár.

 

 

A műveletet megkülönböztetjük más hasonló matematikai fogalmaktól, mint a [[topológia]], [[Függvény (matematika)|függvény]], [[reláció]].