„Köbszámok” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a kisebb formai javítások |
|||
8. sor:
* A köbszámok a [[négyzetszámok]] többszörösei, de van olyan négyzetszám, amely köbszám is egyben.
* Végtelen sok köbszám van.
* Köbszámok szorzata is köbszám, mert (a·a·a)·(b·b·b)=(a·b)·(a·b)·(a·b), mely köbszám. Ehhez c·c·c-t, d·d·d-t, … is hozzáírhatjuk úgy, hogy köbszámot kapjunk. Köbszámok összege viszont sohasem köbszám (azt a triviális esetet leszámítva, mikor is egyikük vagy mindkettő 0). Ez a nagy [[Fermat-tétel]]ből is következik, bár 3 kitevőre való speciális esetét, több más kisebb kitevőhöz hasonlóan; már jóval a Wiles-bizonyítás előtt elintézték. Meglepő viszont, hogy a bizonyítások mennyire nehezek: a matematikuskirály [[Euler]] próbálkozott a bizonyítással, de az ő megoldaása mai fogalmaink szerint nem teljes, a másik matematikusfejedelem, Gauss pedig lényegében az [[Eisenstein-egészek]] fogalmát hívta segítségül, hogy kifogástalanul belássa ezt az egyszerűnek tűnő állítást. Három köbszám összege viszont lehet köbszám.
* Az első n köbszám összege az n-edik [[háromszögszám]] négyzete.
* Köbszám ellentettje is köbszám.
14. sor:
A pozitív páratlan számok sorozatát egy, két, három, ... hosszú blokkokra osztjuk, akkor az egyes blokkok összege rendre kiadja a pozitív köbszámokat:
* : <math>\underbrace{1}_{1}\ \underbrace{3\ 5}_{8}\ \underbrace{7\ 9\ 11}_{27}\ \underbrace{13\ 15\ 17\ 19}_{64}\ \underbrace{21\ 23\ 25\ 27\ 29}_{125}\ \ldots</math>
Az első ''n'' középpontos hatszögszám összege az ''n''-edik köbszám:
* : <math>\begin{align}
1 &= 1\\
8 &= 1 + 7\\
33. sor:
Az első ''n'' köbszám összege megegyezik az ''n''-edik háromszögszám négyzetével:
* : <math>\sum_{i=1}^n i^3 = 1^3 + 2^3 + \ldots + n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2</math>
* Minden [[természetes szám]] felírható legfeljebb kilenc köbszám összegeként. Ennél kevesebbel nem megy, hiszen
<math>23 = 8 + 8 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1\,</math>,
és kevesebből nem lehet.
* Minden racionális szám felírható három olyan tört összegeként, amiben a számláló és a nevező is köbszám, és ennyire szükség is van.
<math>3^3+4^3+5^3=6^3\,</math>
== Reciprokösszeg ==
A pozitív köbszámok reciprokainak összege az Apéry-konstans, ami a [[Riemann-féle zéta-függvény]] által 3-ban felvett érték:
: <math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} = \zeta{(3)} \approx 1,20205</math>
== Generátorfüggvény ==
Minden <math>(a_i)_{i\ge 0}</math> valós számsorozathoz formális hatványsor rendelhető, <math>\sum_{i \ge 0} a_i x^i</math>. Ez az adott számsorozat [[generátorfüggvény]]e. Ebben az összefüggésben a köbszámok sorozatát nullától kezdik:
56. sor:
: <math>\sum_{i \ge 0} i^3 x^i = x + 8x^2 + 27 x^3 + 64 x^4 + \ldots = \frac{x(x^2+4x+1)}{(x-1)^4}</math>
== Források ==
Eric W. Weisstein: [http://mathworld.wolfram.com/CubicNumber.html Köbszámok a MathWorldnál]
* {{citation
| last1 = Hardy | first1 = G. H.
| last2 = Wright | first2 = E. M.
| title = An Introduction to the Theory of Numbers (Fifth edition)
| publisher = [[Oxford University Press]]
66. sor:
| date = 1980
| isbn = 978-0198531715}}
{{
{{DEFAULTSORT:Ko~bszamok}}
[[Kategória:Matematika]]
| |||