„Kvaterniók” változatai közötti eltérés

a
kisebb formai javítások
a (Bot: következő hozzáadása: pms:Quaternion)
a (kisebb formai javítások)
ij & = & k, & & & & ji & = & -k, \\
jk & = & i, & & & & kj & = & -i, \\
ki & = & j, & & & & ik & = & -j.
\end{matrix}</math>
 
 
[[Halmazelmélet]]i szempontból a kvaterniók a komplex számok önmagukkal vett direktszorzataként értelmezhetők, a következő összeadási és szorzási szabályokkal:
* (a, b, c, d)+(A, B, C, D) = (a+A, b+B, c+C, d+D)
* Szorzásukat egyszerűbb kifejezni az alábbi jelölésekkel: (a, b, c, d) = (a, v), ahol a egy valós szám, v egy három dimenziós vektor, valamint v*V skalár, v x V vektoriális szorzat. Ekkor (a, v) * (A, V) = (a*A, a*V + A*V + v x V)
 
A kvaterniók [[ferdetest]]et alkotnak.
=== Komplex mátrixok ===
Ez a konstrukció a kvaterniókat részgyűrűnek tekinti a <math>\Bbb C^{2\times 2}</math>-es [[mátrix (matematika)|mátrixok]] gyűrűjében. Az 1, ''i'', ''j'', ''k'' báziskvaterniókat ezek a mátrixok [[ábrázolás (matematika)|ábrázolják]]:
 
: <math>1 \mapsto \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\quad
ahol is a komplex képzetes egységet <math>\mathrm i_\mathbb C</math> jelöli az egyértelműség kedvéért.
 
Ebben az ábrázolásban
 
: <math>
 
A kvaterniók másként is ábrázolhatók a komplex számok fölötti <math>C^{2\times 2}</math>-es mátrixok gyűrűjében, de az összes többi lehetőség konjugált a már leírt változathoz.
=== Hányadosalgebra ===
Az absztrakt algebra lehetőséget ad a kvaterniók hányadosalgebraként történő definiálására. Eszerint a kvaterniók előállnak a három határozatlanú polinomok nem kommutatív gyűrűjének a Hamilton-szorzásszabálxok alkotta ideállal vett faktoraként.
 
Egy másik módszerhez elég két határozatlan. Ekkor a kvaterniók algebrája az <math>i \mapsto e_1,\, j \mapsto e_2,\, k=ij \mapsto e_1e_2</math> által generált két dimenziós euklidészi sík [[Clifford-algebra|Clifford-algebrájaként]] áll elő.
 
A Clifford-algebrák egységelemes asszociatív algebrák, amiket egy kvadratikus alakkal ellátott vektortér generál. A ''C''ℓ(''V'',''Q'') Clifford-algebra a legszabadabb algebra azzal a kikötéssel, hogy:
A három dimenziós forgatásokkal való összefüggésben fontos szerephez jut az, hogy a kvaterniók algebrája az <math>i \mapsto e_2e_3,\, j \mapsto e_3e_1,\,k \mapsto e_1e_2</math> által generált euklidészi tér Clifford-algebrájának páros részének tekinthető.
 
== Alapműveletek ==
=== Valós és képzetes rész ===
Az
 
: <math>x_0+x_1\cdot\mathrm i+x_2\cdot\mathrm j+x_3\cdot\mathrm k</math>
<math>(x_1,x_2,x_3) \in \R^3</math>.
 
Ha az <math>x_0+x_1\cdot\mathrm i+x_2\cdot\mathrm j+x_3\cdot\mathrm k</math> kvaterniókat a valós skalárból és a három dimenziós vektorból álló párokkal azonosítjuk:
 
: <math>(s,\vec v)</math> mit <math>s=x_0</math> und <math>\vec v=(x_1,x_2,x_3)</math>,
: <math>(s,\vec v)\cdot (t,\vec w)=\Big(st-\langle\vec v,\vec w\rangle,\quad s\vec w+t\vec v+\vec v\times\vec w\Big).</math>
 
A valós számok azonosíthatók azokkal a kvaterniókkal, amiknek képzetes része a nullvektor.
 
Azokat a kvaterniókat, amiknek a valós része nulla, tiszta, vagy tisztán képzetes kvaternióknak nevezik. Ezek éppen azok a kvaterniók, aminek négyzete valós, és nem pozitív. A tisztán képzetes kvaterniók halmaza:
 
: <math>(0,\vec v)\cdot(0,\vec w)=\Big({-\langle\vec v,\vec w\rangle},\quad \vec v\times\vec w\Big).</math>
=== Konjugálás és norma ===
Egy kvaternió konjugáltjában a valós rész ugyanaz, a képzetes rész ellentett:
 
 
: <math>|x|=\sqrt{x\cdot\bar x}</math>
=== Invertálás ===
Az <math>x\ne0</math> kvaternió inverze az az ''x''<sup>-1−1</sup> kvaternió, amivel
 
: <math>x\cdot x^{-1}=1\quad</math> és <math>\quad x^{-1}\cdot x=1.</math>
: <math>b\cdot a^{-1}\quad</math> és <math>\quad a^{-1}\cdot b,</math>
 
amik rendre a
 
: <math>xa=b\quad</math> és az <math>\quad ax=b</math>
 
egyenleteket oldják meg.
 
A két egyenlet megoldása akkor és csak akkor egyezik meg, ha ''a'' valós, mert csak a valósok cserélhetők fel az összes kvaternióval. Az absztrakt algebra nyelvén úgy mondjuk, hogy a kvaterniók [[ferdetest]]ének centruma a [[valós számok]] halmaza. Így a <math>\textstyle\frac ba</math> kifejezésbe hallgatólagosan beleértjük, hogy ''a'' valós.
 
:<math>\frac{\bar x}{|x|^2}.</math>
== Egységkvaterniók ==
Az egységkvaterniók az 1 normájú kvaterniók. Az 1 abszolútértékű komplex számokhoz hasonlóan
 
: <math>\bar x=x^{-1}.</math>
 
Tetszőleges <math>x\ne0</math> kvaternióra
 
: <math>\frac x{|x|}=\frac{x_0}{|x|}+\frac{x_1}{|x|}\cdot\mathrm i+\frac{x_2}{|x|}\cdot\mathrm j+\frac{x_3}{|x|}\cdot\mathrm k</math>
Két egységkvaternió szorzata megint egységkvaternió. A szorzás asszociativitása miatt az egységkvaterniók [[csoport]]ot alkotnak a szorzásra.
 
Az
 
: <math>\{\pm1,\pm\mathrm i,\pm\mathrm j,\pm\mathrm k\}.</math>: <math>\{\pm1,\pm\mathrm i,\pm\mathrm j,\pm\mathrm k\}.</math>
kvaterniók szintén egységkvaterniók. [[Részcsoport]]ot alkotnak az egységkvaterniók csoportjában, az úgynevezett kvaterniócsoportot.
 
A Lie-csoport olyan csoport, ami a szorzáson és az invertáláson kívül még egy topológiával is el van látva, amire nézve az előbbi műveletek folytonosak.
Az egységkvateriók halmaza egy három dimenziós gömbfelszín a négy dimenziós térben, ami ezzel [[Lie-csoport]]tá válik. A hozzá tartozó Lie-algebra a tiszta kvaterniók tere. A mátrixos ábrázolásban az egységkvaterniók csoportját éppen az SU(2) speciális unitér csoport ábrázolja. Ez megmagyarázza a kapcsolatot a Pauli-mátrixokkal.
 
De ez csak egy beágyazás. A kvaterniók nem alkotnak algebrát a komplex számok fölött.
 
== Trigonometrikus alak ==
Ahogy a komplex számok,
 
: <math>z=|z|\cdot(\cos\phi+\mathrm i\sin\phi)=|z|\cdot\mathrm e^{\mathrm i\phi}</math>
: <math>x=\cos\alpha+v\cdot\sin\alpha</math>
 
és ez egyértelmű, ha <math>0<\alpha<\pi\ </math>
 
A kvaterniókra kiterjesztett [[exponenciális függvény]] segítségével:
ahol <math>X</math> tiszta kvaternió, amire <math>|X|<\pi\ </math>.
 
== Konstrukciók kvaterniókkal ==
=== Szorzatok ===
Két kvaternió képzetes részének [[vektoriális szorzat]]a a két kvaternió [[kommutátor]]ának kétszerese:
 
Ha <math>x=(s,\vec v)</math> és <math>y=(t,\vec w)</math>,
 
akkor
 
: <math>x_0y_0-x_1y_1-x_2y_2-x_3y_3=\mathrm{Re}(xy).\ </math>
=== Vektoranalízis ===
A következőkben azonosítjuk a tiszta kvaterniókat <math>\R^3</math> vektoraival.
 
 
azaz a <math>\nabla</math> operátor úgy hat, mint a [[Laplace-operátor]] négyzetgyöke.
=== Forgatások a három dimenziós térben ===
Az egységkvaterniók elegáns módot kínálnak a [[forgatás]]ok leírására a három dimenziós térben: rögzített ''q'' kvaternióra a
 
: <math>\rho_q\colon x\mapsto qx\bar q</math>
 
leképezés forgatás <math>\mathrm{Im}\,\mathbb H</math>-ben.
 
Ha trigonometrikus alakba írjuk a ''q'' kvaterniót:
: <math>q=\cos\alpha+v\cdot\sin\alpha</math>
 
ahol <math>0<\alpha<\pi\ </math>, és <math>v\ </math> tiszta egységkvaternió,
akkor a forgatás szöge <math>2\alpha\ </math>, és tengelye <math>v\in\R^3</math>.
 
: <math>\rho_{\bar q}=\rho_q^{-1},</math>
 
ami az egységkvaterniók körében ugyanaz, mint az invertálás.
 
Mindezek miatt ez a leképezés [[homomorfizmus]], de nem izomorfizmus.
=== Kapcsolat az ortogonális mátrixokkal ===
A <math>q=w+x\cdot\mathrm i+y\cdot\mathrm j+z\cdot\mathrm k,\qquad w^2+x^2+y^2+z^2=1,</math> egységkvaterniónak megfelelő ortogonális mátrix
 
 
A mátrixból a kvaterniók meghatározásához elég a forgatás tengelyét és szögét megadni, és a trigonometrikus képletbe behelyettesíteni.
=== Kapcsolat az Euler-szögekkel ===
Az [[Euler-szögek]]re különféle konvenciók vannak. Itt azokat a forgatásokat tekintjük, amik megkaphatók úgy, hogy először a ''z'' tengely körül <math>\Phi</math>, utána az új ''x'' tengely körül <math>\Theta</math>, végül az új ''z'' tengely körül <math>\Psi</math> szöggel forgatva kapunk. Az egyes forgatások rendre a
 
: <math>\cos\frac\Phi2+\mathrm k\cdot\sin\frac\Phi2,\quad \cos\frac\Theta2+\mathrm i\cdot\sin\frac\Theta2,\quad \cos\frac\Psi2+\mathrm k\cdot\sin\frac\Psi2,</math>
 
Hasonlók adódnak más konvenciók esetén is.
=== A forgáscsoport univerzális fedése ===
Az <math>q\mapsto\rho_q</math> leképezés művelettartó ([[homomorfizmus]]) az egységkvaterniók csoportjából az SO(3) forgatáscsoportba; az egységkvaterniókat azonosítva az <math>\mathrm{SU}(2)</math> generátoraival egy
 
: <math>\mathrm{SU}(2)\to\mathrm{SO}(3).</math>
 
homomorfizmust kapunk.
 
Ez egy kétrétegű fedés, aminek [[mag (matematika)|magja]] a <math>\{\pm1\}</math> [[centrum (algebra)|centrum]]. A [[fedés (topológia)|fedés]] univerzális, hiszen <math>\mathrm{SU}(2)\cong S^3</math> egyszeresen összefüggő. Spincsoportnak is nevezik, és <math>\mathrm{Spin}(3)</math>-mal is jelölik, és szorosan kapcsolódik a fizikai spinhez. Az <math>\mathrm{SU}(2)</math> → <math>\mathbb C^2</math> leképezés egy úgynevezett spinorábrázolás, azaz egy olyan ábrázolás, amiben a négyzetes mátrixok mérete páros. Három báziskvaternió, '''i''', '''j''' és '''k''' az SU(2) három [[hermitikus mátrix|hermitikus generáló mátrixának]], a [[Pauli-mátrixok]]nak felel meg:
Így függ össze a két alaptétel:
 
''' i ''' = '' &sigma;σ<sub>x</sub>/i '' , ''' j ''' = '' &sigma;σ<sub>y</sub>/i '' és ''' k ''' = '' &sigma;σ<sub>z</sub>/i ''
 
ahol ''i'' a komplex képzetes egység, így az elméleti fizikából ismert &sigma;σ<sub>x</sub>&sigma;σ<sub>y</sub>= '' i ''&sigma;σ<sub>z</sub> kapcsolat éppen az ''' i ''' <math>\cdot</math> ''' j '''=''' k ''' relációnak felel meg. A &sigma;σ-mátrixok hermitikus voltuk miatt mérhető mennyiségekként jöhetnek szóba a kvantummechanikában, ellentétben a '''i''', '''j''' és a '''k''' báziskvaterniókkal, ami fontos a [[kvantummechanika]] matematikai modellezésében. Közelebbről <math>\mathrm{SU(2)}\equiv\{ \exp(i\frac{1}{2}\vec\alpha\cdot\vec\sigma)\}</math>, aminek valós vektorkoordinátái &alpha;α<sub>x</sub>, &alpha;α<sub>y</sub> és &alpha;α<sub>z</sub>. Az 1/2 szorzónak többek között az a hatása,hogy a spinorok a vektorokkal ellentétben nem kerülnek vissza alaphelyzetükbe 2'' &pi;π ''-vel &nbsp;(=360 fokkal) elforgatva, hanem csak annak kétszerese után.
=== A négy dimenziós tér ortogonális leképezései ===
A három dimenziós esethez hasonlóan <math>\mathbb H</math> minden irányítástartó hasonlósági transzformációja felírható, mint:
 
 
aminek magja <math>\{(1,1),(-1,-1)\}</math>.
== A kvaterniók algebrája ==
Izomorfia erejéig három véges dimenziós asszociatív algebra van a valós számok felett: saját maga, algebrai lezártja, és a felette vett kvaterniók.<ref>Corollary 6.8 in Chapter iX von Hungerford: Algebra (Springer 1974)</ref>
 
: <math>\mathbb H\otimes_\mathbb R\mathbb C\cong M_2(\mathbb C).</math>
 
A tenzorszorzat <math>\mathbb C</math> faktorra vett komplex konjugáció involúciót szolgáltat a mátrixalgebrában, aminek invariánsai egy <math>\mathbb H</math>-val izomorf algebrát alkotnak.
 
Az
involúció megfelel a kvaterniók fenti mátrixmodelljének.
 
<!--<math>\R</math> Brauer-csoportja kételemű. Ez abban tükröződik vissza, hogy
: <math>\mathbb H\otimes_\mathbb R\mathbb H\cong M_4(\R)</math>
 
A kvaterniók legfontosabb haszna, hogy a tisztán képzetes (azaz a valós része, az 'a' komponens 0) számokkal leírható a három dimenziós [[vektortér]].
A kvaterniókat a háromdimenziós mozgásokkal való szoros kapcsolata miatt felhasználják [[robot]]ok vezérlésénél.
=== Négynégyzetszám-tétel ===
Legyen
: <math>x_1=a_1+b_1\cdot\mathrm i+c_1\cdot\mathrm j+d_1\cdot\mathrm k\quad</math> és <math>\quad x_2=a_2+b_2\cdot\mathrm i+c_2\cdot\mathrm j+d_2\cdot\mathrm k</math>
 
Az
 
: <math>|x_1|^2\cdot|x_2|^2=|x_1x_2|^2</math>
 
A [[négynégyzetszám-tétel]] szerint minden természetes szám felírható négy négyzetszám összegeként. Az előző állítás szerint elég a tételt a prímszámokra belátni. Ez alapján ezt az utóbbit is nevezik négynégyzetszám-tételnek.
== Rokon témák ==
A kvaterniókhoz hasonló konstrukciókat hiperkomplex számoknak is nevezik. A [[Cayley-számok]] a kvaterniók nyolc dimenziós analogonjai. Az ő körükben szorzás se nem kommutatív, se nem asszociatív. A Cayley-számok szorzása alternatív:
 
: <math>a \cdot ( a \cdot b ) = ( a \cdot a ) \cdot b</math> és <math>a \cdot ( b \cdot b ) = ( a \cdot b ) \cdot b</math> minden ''a'', ''b'' Cayley-számra.
 
== Források ==
{{források}}
* [http://world.std.com/~sweetser/quaternions/ps/book.pdf Doing Physics with Quaternions] ([[PDF]]; 563 kB)
{{csonk-dátum|csonk-mat|2006 augusztusából}}
 
{{DEFAULTSORT:Kvaterniok}}
[[Kategória:Absztrakt algebra]]
 
{{Link FA|lmo}}
 
[[en:Quaternion]]
[[af:Kwaternioon]]
131 512

szerkesztés