„Naiv halmazelmélet” változatai közötti eltérés

a
kisebb formai javítások
a (kisebb formai javítások)
{{Sablon:Matematika}}
 
== Története ==
A [[halmazelmélet]] alapjait [[Georg Cantor]] rakta le egy 1874-ben megjelent cikkében, melyben a [[valós számok]] nem [[megszámlálhatóan végtelen]] voltát bizonyította be elsőként. Cantor gondolata az volt, hogy ne csak számok, pontok, egyenesek összességeit tekintsük, hanem ezek összességeinek összességeit, … is. Ekkor összességek végtelen hierarchiáját alkotjuk meg gondolatban ami érdekes matematikai és filozófiai problémákat vet fel. Az 1874-es cikk eredménye azért megdöbbentő, mert kiderül: ugyan természetes számból és valós számból is végtelen sok van, de mégis valamilyen szempontból a valós számok összessége "magasabbrendűen" (nem megszámlálható módon) végtelen mint ahogy a természetes számok összessége végtelen, sőt ahogy számból, úgy végtelenből is végtelen sok van. Cantor ezzel megteremtette a végtelen [[számosság]]ok elméletét. Az összességre a "menge" német szót használta, később más elnevezések is napvilágot láttak; a magyar nyelvben a [[halmaz]] szót használják matematikai szakkifejezésként. Eredményeit [[Richard Dedekind|Dedekind]], [[Gottlob Frege|Frege]] és [[Bertrand Russell|Russell]] is felhasználta. Szerencsétlenségükre Russell munkája során felfedezett egy ellentmondást, mely Cantor alapgondolatából következik (ez a [[Russell-paradoxon]]) és azt levélben meg is küldte Fregenek, aki ezt az érvelést az éppen nyomdába készülő könyvének utószavába be is illesztette. Ezzel 1903-ban napvilágot látott Cantor halmazelméletének ellentmondásossága. Azóta nevezik Cantor elméletét naiv (azaz kezdetleges) halmazelméletnek. (Valójában Cantor (ahogy rajta kívül sokan mások is) is felfedezett egy ellentmondást, ezt [[Cantor-paradoxon]] néven emlegetik.) A halmazelméletet sikerült az axiomatikus módszer segítségével megmenteni és az ismert ellentmondásaitól megszabadítani. A korban a feladatot Russell (a [[típuselmélet]]ben), [[Zermelo]] és [[Fraenkel]] (a [[Zermelo-Fraenkel halmazelmélet]]ben) és az [[intuicionizmus|intuicionisták]] a fajták elméletében oldották meg. Később más axiomatikus halmazelméletek is születtek (például a [[Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet]] és a [[Bourbaki]]-halmazelmélet).
 
Magát a <math>{T}</math> tulajdonságot gyakran funkcionális jelölésmódban úgy jelöljük, hogy <math>{T(x)}</math>. Itt az <math>{x}</math> karaktert ''változó''nak nevezzük és azt jelképezi, hogy a <math>{T(x)}</math> kifejezés ''nyitott mondat'', igazságértéke még nem értelmezhető. ''Zárt'' kijelentő mondat – azaz olyan, melynek létezik igaz vagy hamis értéke – csak akkor lesz belőle, ha az <math>{x}</math> változó helyére valamilyen dolog nevét helyettesítjük.
 
A <math>{T(x)}</math> tulajdonság igazságtartományát
:<math>\{x\mid T(x)\}</math>
-szel jelöljük és úgy mondjuk ki, hogy „azon <math>{x}</math>-ek összessége, melyre a <math>{T(x)}</math> tulajdonság igaz”.
 
=== Példa ===
Legyen <math>{T}</math> : „kutya” . Funkcionális jelölésmódban <math>{T(x) :}</math> „<math>{x}</math> kutya”. Ekkor „<math>{x}</math> kutya” még nyitott mondat, zártat úgy képezhetünk belőle, ha az <math>{x}</math> változó helyére például <math>{Buksi}</math>, a kutya vagy <math>{Cirmi}</math>, a macska nevét helyettesítjük. Ekkor <math>{T(Buksi)}</math> egy, a valóságnak megfelelő állapotot leíró, tehát igaz mondat, míg <math>{T(Cirmi)}</math> nem felel meg a valóságnak, így hamis. Végeredményben képezhetjük a kutyák összességét:
:<math>\{x\mid T(x)\}=\{x\mid x \mbox{ kutya}\}</math>
 
== Ki nem mondott feltételezések ==
 
Eddigi fejtegetésünk a [[logikai grammatika]] témakörébe tartozik és legfeljebb az „igaznak lenni” minősítés homályos értelmezése felől támadható. Ma már tudjuk, hogy Cantor a fentieken felül kimondatlanul feltételezte a következőket:
# '''A komprehenzivitás elve:''' akármilyen <math>{T(x)}</math> tulajdonság esetén, az <math>{x}</math> változó helyére minden dolog nevét írhatjuk, és összegyűjthetjük az { <math>x</math> | <math>T(x)</math> } szimbólum alá az összes olyan dolgot mely teljesíti a <math>{T(x)}</math> tulajdonságot.
# '''Az extenzionalitás elve:''' Két összesség akkor és csak akkor egyenlő, ha elemeik megyegyeznek.
 
== Az ellentmondás ==
A [[Russell-paradoxon]] feloldását mások máshogy képzelték.
[[Gottlob Frege]] abban látta az ellentmondás fellépésének okát, hogy az összességekre – úgy tűnik – nem áll a kizárt harmadik elve. Russell maga szükségesnek tartotta szigorúan megkülönböztetni a dologkat, a dolgok összességeitől. A Russell-paradoxon mindazonáltal a következők miatt lép fel. Ellentmondások hátterében gyakran az önmaguk igazságára hivatkozó mondatok állnak. Ez húzódik meg [[a hazug paradoxona]] mögött, a [[Gödel-féle nemteljességi tétele]]kben és ez ad alapot a hatványhalmaz számosságára vonatkozó tétel (a Cantor-tétel) fennállására.
Mivel az <math>\mbox{ }_{x\notin x}</math> kijelentésben összességek is szerepelhetnek és az összességeket egyértelműen meghatározza a definiáló tulajdonságuk, így a <math>\mbox{ }_{x\notin x}</math> kijelentésből könnyen csinálhatunk saját magára hivatkozó mondatot:
* Robert Goldblatt, ''TOPOI – The categorical analysis of logic'', North-Holland Publ. Co., 1984 [http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=Gold010&view=75&frames=0&seq=3 elektronikus könyvtári formában itt]
 
* [[Ruzsa Imre]] – Máté András, ''Bevezetés a modern logikába'', Osiris Kiadó, 1997.
* Gottlob Frege, ''Az aritmetika alaptörvényei II.'', Utószó (1903), in: ''Gottlob Frege, Logikai vizsgálódások – Válogatott tanulmányok'', szerk.: Máté András, Osiris Kiadó, 2000.
 
{{Portál|matematika}}
 
{{DEFAULTSORT:Naiv halmazelmelet}}
[[Kategória:Halmazelmélet]]
[[Kategória:Halmazelméleti axiómarendszerek és megalapozási paradigmák]]
131 512

szerkesztés