„Szakadás (matematika)” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a Még egy(szer), még inkább, még jobban külön, mégpedig egybe |
a kisebb formai javítások |
||
1. sor:
A [[matematikai analízis
== A fogalom és definíciója ==
A jelentősnek tekinthető analízis tankönyvek egy része kifejezetten hangsúlyozza, hogy szakadás csak az értelmezési tartomány pontjaiban vizsgálható, más jelentős tankönyvek, cikkek azonban az értelmezési tartományhoz közeli úgy nevezett [[torlódási pont
Éppen ezért a szakadás fogalmát érdemes külön kezelni a folytonosság fogalmától és nem csak mint nemfolytonosságot kezelni, hanem önálló témaként gondolni rá. Ezt annál is inkább érdemes tenni, minthogy a szakadások osztályozása nem a folytonossággal hanem a határértékkel kapcsolatos.
Egy ''D'' halmazhoz közeli pontok matematikai értelemben a ''D'' lezártjának pontjai, azaz azon ''u'' pontok, melyeknek minden gömbi környezetében van az ''u''-tól különböző ''D''-beli elem. A lezártat sokszor <math>\scriptstyle{\overline{D}}</math>-vel vagy cl(''D'')-vel jelölik. Mivel az értelmezési tartomány [[izolált pont]]jában minden függvény triviálisan folytonos ezért elegendő csak az értelmezési tartomány torlódási pontjaiban, azaz a ''D ' '' halmazon vizsgálni a szakadásokat.
'''Definíció.''' Azt mondjuk, hogy a valós számok egy ''D'' részhalmazán értelmezett ''f'': ''D'' <math>\to</math> '''R''' függvénynek a ''D'' lezártja egy ''u'' pontjában '''szakadása''' van, ha
* ''u''
* ''u'' ∉ ''D''
16. sor:
A szakadási pontok halmazát néha discont(''f'') vagy disc(''f'') jelöli.
== A szakadási helyek osztályozása ==
A szakadások osztályozásánál megvizsgáljuk a szakadási pontban a bal és jobb oldali határértéket. A bal oldali határérték fogalmának szerepeltetésénél elengedhetetlen, hogy az adott pont bal oldali torlódási pont legyen, azaz a pont minden bal oldali kipontozott környzete belemetszen a halmazba, hasonlóképpen a jobb oldali is. Például a valós [[logaritmus]] függvény esetén nincs értelme a 0-ban bal oldali határértékről beszélni, csak jobb oldaliról.
'''Definíció.''' Legyen ''f'': ''D'' <math>\to</math> '''R''' a valós számok egy ''D'' részhalmazán értelmezett valós függvény és legyen ''u'' az ''f'' ''szakadási pontja''.
# Azt mondjuk, hogy ''f''-nek '''elsőfajú szakadása''' van az ''u'' pontban, ha abban az esetben, amikor ''u'' valamely egyoldali torlódási pontja ''D''-nek, akkor ezen az oldalon létezik és véges is az ''f'' egyoldali határértéke.
# Azt mondjuk, hogy ''f''-nek '''másodfajú szakadása''' van az ''u'' pontban, ha
nem elsőfajú a szakadása.
Az elsőfajú szakadásokat érdemes tovább osztani két részre.
'''Definíció.''' ''f''-nek '''megszüntethető szakadása''' van az ''u'' elsőfajú szakadási helyen, ha ''f'' módosítható vagy kiterjeszthető abban a pontban folytonos függvénnyé. ''f''-nek '''ugrása''' van ''u''-ban, ha léteznek az egyoldali határértékek, de nem egyenlők.
[[Fájl:Szakadas.gif
Megszüntethető szakadás természetesen akkor van, ha mindkét egyoldali határérték létezése esetén ezek végesek és egyenlők. Ugrása pedig, ha végesek, de nem egyenlők.
== Komplex függvények szakadásainak osztályozása ==
:''Lásd még: [[izolált szingularitás]]''
Komplex függvények szakadása ugyanígy értelmezendő: a függvény vagy értelmezett, de nem folytonos, vagy nem értelmezett egy torlódási pontban. Ha emellett még az is igaz, hogy a szakadási pontnak van olyan környzete, ahol a függvény a ponton kívül mindenhol reguláris, akkor a szakadást ''izolált szingularitás''nak mondjuk. Az ilyet a következő osztályokra bontjuk:
* megszüntethető szakadás, ha az f(<math>z_0</math>) = lim<sub><math>z_0</math></sub> f definícióval folytonossá tehető (ekkor persze regulárissá is),
* n-ed rendű pólus, ha lim<sub><math>z_0</math></sub> f =
* lényeges szingularitás, ha nem pólus.
Néha a valós függvények olyan másodfajú szakadását, melyekben lim<sub><math>z_0</math></sub> |f| =
== Hivatkozások ==
* Gáspár Gyula, Szarka Zoltán, ''Komplex függvénytan,'' Műszaki matematika VI. szerk.: Gáspár Gyula, Tankönyvkiadó, 1969.
{{DEFAULTSORT:Szakadas (matematika)}}
[[Kategória:Analízis]]
52 ⟶ 53 sor:
[[de:Sprungstetigkeit]]
[[es:Clasificación de discontinuidades]]
[[ko:불연속성의 분류]]▼
[[it:Punto di discontinuità]]▼
[[he:נקודת אי רציפות]]
▲[[it:Punto di discontinuità]]
[[nl:Discontinuïteit]]▼
[[ja:不連続性の分類]]
▲[[ko:불연속성의 분류]]
▲[[nl:Discontinuïteit]]
[[pl:Punkt nieciągłości]]
[[sr:Прекиди функције]]
|