„Távolság” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a [[Image:..]], [[File:..]] magyarítása |
a kisebb formai javítások |
||
1. sor:
A '''távolság''' két pont közé eső szakasz hossza. ''Pont és egyenes távolsága'' a ponttól az egyenesre bocsátott merőleges hossza. ''Pont és sík távolsága'' a ponttól a síkra bocsátott merőleges szakasz hossza. ''Két párhuzamos egyenes távolsága'' az egyik egyenes egy pontjának távolsága a másik egyenestől. ''Két párhuzamos sík távolsága'' az egyik sík egy pontjának távolsága a másik síktól.
A [[fizika|fizikában]], vagy a mindennapi életben a távolságot többnyire különböző hosszúságegységekben adják meg. SI-egysége a [[méter]]. A [[matematika]] ezt a fogalmat általánosítja, különböző [[mérték]]eket, metrikákat vezetve be.
A távolság egy nem negatív skalármennyiség, aminek nincs iránya, míg az elmozdulásra, mint vektormennyiségre jellemző annak iránya. Egy görbe úton megtett út hossza lényegesen nagyobb lehet a légvonalbeli távolságnál. Egy körút például hosszú lehet, de ilyenkor a kezdő-és végpont légvonalbeli távolsága nulla, mert e két pont egybeesik.
== Geometria ==
Az abszolút geometriában két pont, x<sub>1</sub> és x<sub>2</sub> távolsága:
:<math>d=\sqrt{(\Delta x)^2}=\sqrt{(x_2-x_1)^2}.\,</math>
19. sor:
A távolságképletek általánosítása az [[ívhossz]] kiszámítására szolgáló képlet.
== Az euklidészi térben ==
A matematikában, az euklidészi térben néha más távolságokat használnak, amik az euklidészi normától eltérő normán alapulnak.
41. sor:
A fizikai térben az euklidészi távolság a legtermészetesebb, mert egy merev test hossza nem változik meg a forgatás hatására.
== Euklidészi norma ==
Az euklidészi norma az adott '''p''' pont origótól mért távolsága:
48. sor:
ahol az utolsó szorzás skalárszorzás. Ez egyben az origóból a '''p'''-be mutató vektor hossza.
== Variációszámítás ==
A tér két pontja (<math>A = \vec{r}(0)</math> és <math>B = \vec{r}(T)</math>) közötti távolság variációs formulája:
<center>
56. sor:
</center>
ahol a távolság a formula minimumával egyenlő. A képletben <math>\vec{r}(t)</math> jelöli a két pont közötti utat. A ''D'' integrál ennek a hossza. A képlet akkor veszi fel minimumát, ha <math>r = r^{*}</math>, ahol <math>r^{*}</math> az optimális trajektória, az euklidészi geometriában egy egyenes szakasz. Görbült terekben, ahol a tér természetét <math>g_{ab}</math> jelöli, az integrandus <math>\sqrt{g^{ac}\dot{r}_{c}g_{ab}\dot{r}^{b}}</math> lesz.
== Algebrai távolság ==
A számítógépi geometriában gyakran egy másik távolságfogalmat használnak: az algebrai távolságot, amit a legkisebb négyzetek módszerével minimalizálnak.<ref>[http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/CVonline/LOCAL_COPIES/FISHER/ALGDIST/alg.htm]</ref><ref>[http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/CVonline/LOCAL_COPIES/FISHER/CIRCLEFIT/fit2dcircle/node3.html]</ref> Az <math>x^T C x=0</math> alakú egyenlettel adott görbék és felületek, például a [[kúpszeletek]] esetén az algebrai távolság egyszerűen <math>x'^T C x'</math>.
Kiindulási alapként szolgál az euklidészi távolság számára a görbékre vonatkozó becslések finomításához. Ez megtehető például a [[nem lineáris legkisebb négyzetek módszere|nem lineáris legkisebb négyzetek módszerével]].
== Absztrakt távolság ==
A matematikában, különösen a geometriában egy d: ''H''×''H'' → '''R''' függvény a ''H'' halmazon értelmezett távolságfüggvény, ha:
* d(''x'',''y'') ≥ 0, és d(''x'',''y'') = 0 [[akkor és csak akkor]], ha ''x'' = ''y''. Két pont távolsága nem negatív, és nulla akkor és csak akkor, ha a két pont egybeesik.
* Szimmetrikus: d(''x'',''y'') = d(''y'',''x''). Az ''x'' és az ''y'' pont távolsága mindkét irányban ugyanaz.
* Teljesül a [[háromszög-egyenlőtlenség]]: d(''x'',''z'') ≤ d(''x'',''y'') + d(''y'',''z''). Két pont között az egyenes szakasz a legrövidebb út.
Az ilyen ''d'' függvényeket metrikának nevezik. A metrikák topológiát határoznak meg. Például a számok közötti szokásos d(''x'',''y'') = |''x'' − ''y''| metrika a számegyenes szokásos topológiáját adja, amiben a nyílt halmazok a szokásos nyíltak. Az absztrakt távolságra tett kikötések szerint ez is metrika: d(''x'',''y'') = 0 ha ''x'' = ''y'', és 1 egyébként. Ez a szokásos topológiától különböző topológiát ad, amiben pontosan a véges halmazok nyíltak.
Egy alaphalmaz metrikus tér a rajta értelmezett metrikával.
== Gráfelmélet ==
A gráfelméletben két csúcs távolsága az őket összekötő legrövidebb út hossza.
== Halmazok közötti távolság ==
[[Fájl:
Többféleképpen is lehet kiterjedt halmaz között távolságot definiálni. A legtöbbször a következő definíciók valamelyikét használják:
* Két nem üres halmaz távolsága a pontjaik közötti távolságok [[infimum]]a, vagyis legnagyobb alsó korlátja. Megfelel a távolság szokásos értelmezésének. Szimmetrikus premetrika, de többnyire nem teljesíti a háromszög-egyenlőtlenséget, ezért nem pszeudometrika, így csak néhány speciális halmazrendszeren lehet metrika.
* Két halmaz, ''X'' és ''Y'' d<sub>H</sub> Hausdorff-távolsága:
: <math> d_{\mathrm H}(X,Y) = \max\{\,\sup_{x \in X} \inf_{y \in Y} d(x,y),\, \sup_{y \in Y} \inf_{x \in X} d(x,y)\,\}\mbox{,} \! </math>
89. sor:
A két halmaz közötti távolsághoz hasonlóan definiálható egy pont és egy halmaz távolsága.
== Egyéb távolságok ==
A matematika egyes ágai más távolságokat definiálnak és használnak:
* Mahalanobis-távolság a statisztikában
* Hamming-távolság és Lee-távolság a kódelméletben
* Levenshtein-távolság avagy szerkesztési távolság az információelméletben és a számítástudományban
* Csebisev-távolság
* Ciklikus távolság: egy kör kerületén mért távolság. Ha a kör ''r'' sugara 1, akkor kerülete 2*π*''r''. A mérnöki tudományokban gyakran használják az ω=2*π*''f'' összefüggést, ahol ''f'' a frekvencia jele.
== Források ==
{{források}}
* {{citation|last1=Deza|first1=E.|first2=M.|last2=Deza|author2-link=Michel Deza|title=Dictionary of Distances|year=2006|publisher=Elsevier|isbn=0444520872}}.
* Stoyan Gisbert–Takó Galina: Numerikus módszerek
* Munkres, James; ''Topology'', Prentice Hall; 2nd edition (December 28, 1999). ISBN 0131816292.
{{
== Külső linkek ==
* http://planetmath.org/encyclopedia/HausdorffMetric.html
* [http://www-math.mit.edu/phase2/UJM/vol1/HAUSF.PDF A Hausdorff-metrika teljes volta és teljes korlátossága] (pdf)
109. sor:
{{csonk-mat}}
{{DEFAULTSORT:Tavolsag}}
[[Kategória:Geometria]]
| |||