„Cauchy-sorozat” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a Bot: következő módosítása: ro:Șir Cauchy |
A pontos definíció és egy egyszerű példa. A küszöbszám epszilon függése nagyon fontos a definícióban! Címke: HTML-sortörés |
||
2. sor:
[[Fájl:Cauchy sequence illustration2.png|jobbra|bélyegkép|250px| Egy nem Cauchy sorozat ábrázolása]]
A '''Cauchy-sorozatok''' [[Augustin-Louis Cauchy]]-ról kapták a nevüket, és fontos szerepet játszanak a matematikai analízisben.
'''Definíció:''' Egy '''{x<sub>n</sub>}''' sorozat Cauchy-sorozat, ha <br /><br />
<math>\forall \varepsilon >0 \quad \exist N=N(\varepsilon)\quad\forall n>m>N\Rightarrow \left|x_n-x_m\right|<\varepsilon </math><br /><br />
'''Példa:''' Legyen '''x<sub>n</sub>=1/n n=1,2,...''' .Ahhoz, hogy megmutassuk a sorozatról, hogy Cauchy-sorozat, tetszőlegesen megadott '''ε>0''' számhoz meg kell konstruálni a ''' N=N(ε)''' küszöbszámot. Amennyiben küszöbszámot mondunk, pozitív valós számot értünk alatta, míg a - szintén elterjedt - küszöbindex kifejezést pozitív egész számként definiáljuk.Legyen tehát '''ε>0''' tetszőlegesen megadva és '''n>m'''. Ekkor<br /><br />
<math>\left|x_n-x_m\right|=\left|\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\right|=\frac{1}{m}-\frac{1}{n}<\frac{1}{m}<\varepsilon\iff m>\frac{1}{\varepsilon}\Rightarrow N(\varepsilon):=\frac{1}{\varepsilon}</math><br /><br />
Az így definiált '''N''' küszöbszám rendelkezik a definícióbeli tulajdonsággal, vagyis a sorozat Cauchy-sorozat. A példa arra is rámutat, hogy általában az '''ε''' hibaparaméterhez tartozó '''N=N(ε)''' küszöbszám explicit módon függ '''ε'''-tól!
==Definíció a valós számok között==
| |||