„Cauchy-sorozat” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
5. sor:
==Definíció valós számsorozatokra==
Egy '''{x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub>,x<sub>3</sub>,...}''' alakú, valós számokból álló sorozat akkor '''Cauchy-sorozat''', ha minden pozitív valós '''ε'''-hoz találunk olyan '''N''' egész számot, hogy az '''N'''-nél nagyobb indexű elemek közül '''bármely''' kettő közti távolság kisebb, mint '''ε'''.<br /><br />
<math>(\forall\varepsilon>0)\quad(\exist N=N(\varepsilon))\quad(\forall n,m\in \mathbb N )\quad \left[n>m>N \Rightarrow\left|x_n-x_m \right|<\varepsilon\right]</math><br /><br />▼
▲<math>(\forall\varepsilon>0)\quad(\exist N=N(\varepsilon))\quad(\forall n,m\in \mathbb N )\quad \left[n>m>N \Rightarrow\left|x_n-x_m \right|<\varepsilon\right]</math><br />
A valós sorozatok esetében minden Cauchy-sorozatnak létezik határértéke, mert a valós számok halmaza teljes metrikus tér a szokásos abszolút érték metrikával.
<br /><br />
'''Példák:'''<br />
# Az '''x<sub>n</sub>=1/n, n=1,2,3,...'''sorozat Cauchy-sorozat. Ennek bizonyításához meg kell konstruálni az előre tetszőlegesen adott '''ε'''-hoz tartozó N=N(ε) küszöbindexet (a küszöbindex pozitív egész szám). Legyen tehát '''0<ε''' tetszőlegesen adva, valamint '''n>m'''. Ekkor <br /><br />
<math> |x_n-x_m|=\left|\frac{1}{n}-\frac{1}{m} \right|=\frac{1}{m}-\frac{1}{n}<\frac{1}{m}<\varepsilon\iff m>\frac{1}{\varepsilon}\Rightarrow \quad N=N(\varepsilon):=\left[ \frac{1}{\varepsilon}\right]+1 </math><br /><br />
A fenti jelölésben '''[x]''' az x valós szám egész részét jelöli. A fenti '''N''' küszöbindex eleget tesz a Cauchy-kritériumban kirótt követelményeknek, tehát a sorozat Cauchy-sorozat. Ez a sorozat konvergens is, ha alaptérnek a valós számok halmazát tekintjük. Nevezetesen <math>\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0 </math>.▼
▲A fenti jelölésben '''[x]''' az x valós szám egész részét jelöli. A fenti '''N''' küszöbindex eleget tesz a Cauchy-kritériumban kirótt követelményeknek, tehát a sorozat Cauchy-sorozat. Ez a sorozat konvergens is, ha alaptérnek a valós számok halmazát tekintjük. Nevezetesen <math>\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0 </math>.<br />
<br />
# Legyen <math> x_n:=\sum_{j=1}^n \frac{\cos(j)}{j^2} </math>. Megmutatjuk, hogy {x<sub>n</sub>} Cauchy-sorozat. Most is legyen '''0<ε''' tetszőlegesen adva, valamint '''n>m'''. Ekkor<br /><br />
<math>|x_n-x_m|=\left|\sum_{j=m+1}^n\frac{\cos(j)}{j^2}\right|\leq \sum_{j=m+1}^n\frac{|\cos(j)|}{j^2}\leq \sum_{j=m+1}^n\frac{1}{j^2} <\sum_{j=m+1}^n\frac{1}{j(j-1)}=\sum_{j=m+1}^n \left( \frac{1}{j-1}-\frac{1}{j}\right)=\frac{1}{m}-\frac{1}{n}<\frac{1}{m}<\varepsilon\iff m>\frac{1}{\varepsilon}.</math><br /><br /> Így a fenti sorozat valóban Cauchy sorozat. {x<sub>n</sub>} valójában nem más, mint a <math>\sum_{j=1}^{\infty}\frac{\cos(j)}{j^2}</math> sor n-edik részletösszegeinek sorozata, vagyis azt bizonyítottuk, hogy a sor konvergens, hiszen a részletösszegek sorozata Cauchy-sorozat, így persze konvergens is.</math><br />
| |||