„Σ-algebra” változatai közötti eltérés

egy bájt hozzáadva ,  10 évvel ezelőtt
a
Bot: következő módosítása: sk:Sigma-algebra; kozmetikai változtatások
a (Bot: következő módosítása: sk:Sigma-algebra; kozmetikai változtatások)
|| 1. || <big>''A''</big> nem [[Üres halmaz|üres]], || &nbsp; &nbsp; &nbsp; azaz &nbsp; || <big>''A''</big>≠<math>\emptyset</math>
|-
|| 2. || <big>''A''</big> tartalmazza bármely eleme <br />(Ω-ra vonatkozó) [[komplementer]]ét, <br /> vagyis zárt a komplementer- <br />képzés műveletére; || &nbsp;&nbsp;&nbsp; azaz &nbsp; || A<math>\in</math><big>''A''</big> <math>\Rightarrow</math> <font style="text-decoration: overline;">A</font><math>\in</math><big>''A''</big>
|-
|| 3. || <big>''A''</big> tartalmazza bármely legfeljebb <br /> megszámlálható&nbsp;[[halmazrendszer|halmazcsaládja]]&nbsp;[[unió]]ját, <br /> vagyis zárt a <br /> megszámlálható unióképzésre.|| &nbsp;&nbsp;&nbsp; azaz &nbsp; || <math>(q_{i})_{i \in \mathbb{N}} \in \ ^{\mathbb{N}} \mathcal{P}(\mathcal{A}) \Rightarrow \bigcup_{i \in \mathbb{N}} q_{i} </math>
|}
 
=== Összefüggés más struktúratípusokkal ===
 
A szigma-algebrához legközelebbi struktúrafajta a [[&lambda;λ-rendszer]] fogalma. Ezek fogalmához úgy jutunk, hogy a szigma-zártság követelményét meggyengítjük, és csak a páronként diszjunkt unióra zártságot követeljük meg. Egy halmazcsalád pontosan akkor szigma-algebra, ha λ-rendszer és π-rendszer (azaz megszámlálható metszet-zárt) is egyben.<ref>Ambar N. Sengupta: ''[http://www.math.lsu.edu/~sengupta/7312s02/sigmaalg.pdf Sigma Algebras]'' ([[pdf]]-jegyzet, v. 2007. 08. 05. 23:51.).</ref>
 
Ha a 3. axióma helyett az a gyengébb követelményt állítjuk fel, hogy <big>''A''</big> véges sok tagjának egyesítésére legyen mindig csak feltétlenül zárt; akkor az [[halmaztest|egyszerű halmaztest]] fogalmát kapjuk. Ha viszont megerősítjük a 3. axiómát úgy, hogy nemcsak megszámlálható, de megszámlálhatatlanul végtelen családok egyesítésére való zártságát is megköveteljük; s egyúttal a 2. axiómát úgy gyengítjük meg, hogy a különbségre zártság helyett csak a metszetre való zártságot követeljük meg, a [[topologikus tér]] fogalmát kapjuk. Belátható, hogy ez tényleg gyengébb követelmény <ref>Pl. az Ψ = {1,2} halmazon az <big>''A''</big> = <nowiki>{∅, {1}, {1,2}}</nowiki> halmaz egy [[topologikus tér|topológiát]] alkot, zárt az uniójra és a metszetképzésre, de nem alkot σ-algebrát: az {1,2}\{1} = {2} halmaz nem tagja <big>''A''</big>-nak.</ref>
 
# Tetszőleges véges Ω halmaz feletti halmazalgebra mindig szigma-algebra is, hiszen bármely végtelen uniónak effektíve csak véges sok tagja van (értve ezen azt, hogy a tagok közül csak véges sok lehet különböző, hiszen véges halmaznak csak véges sok részhalmaza – így az efeletti szigma-algebráknak csak véges sok tagja – lehet). Így például az Ω := {1,2,3,4,5,6} feletti egy Borel-halmaztest a {∅, {1,3,5}, {2,4,6}, Ω} halmaz. Valószínűségszámítási szempontból ez azért tanulságos példa, mert jelzi, hogy egy eseményalgebrának nem szükséges minden kimenetelt mint elemi eseményt (az Ω egyelemű halmazait) tartalmaznia (ha mindegyiket tartalmazza, akkor véges Ω esetében épp a teljes eseményalgebráról van szó). Ld. még [[atomhalmaz]].
# Fontosabb, de bonyolultabban definiálható példák a [[generált &sigma;σ-algebra]] c. fejezetben.
 
== Hivatkozások ==
[[ro:Sigma-algebră]]
[[ru:Сигма-алгебра]]
[[sk:Sigma -algebra]]
[[su:Aljabar sigma]]
[[sv:Sigma-algebra]]
157 554

szerkesztés