„Háromszög-egyenlőtlenség” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
valós számokra |
a kivonásos alak és önálló bizonyítása valós számokra |
||
5. sor:
A [[háromszög]] bármely oldalának hossza kisebb a másik két oldal hosszának összegénél. Azaz:
<math>a<b+c</math>, <math>b<a+c</math> és <math>c<a+b</math>.
A tétel ekvivalens alakja: <math>a-b<c</math>, <math>b-c<a</math> és <math>c-a<b</math>
'''Bizonyítás:'''
37 ⟶ 39 sor:
<math>x \le {|x|}</math> minden <math>x\in\R.</math>-re.
Valós számokra önállóan is belátható a háromszög-egyenlőtlenség kivonásos alakja:
Nyilván <math>|a{+}b|{-}|b| \le |a|.</math>
Az
:<math>a\mathrel{:=\,}x{+}y,\,b\mathrel{:=\,} {-}y</math>
helyettesítéssel
:<math>|x|{-}|y| \le |x{+}y|.</math>
Viszont, ha
:<math>b\mathrel{:=\,} {-}x</math>
akkor
:<math>|y|{-}|x| \le |x{+}y|,</math>
Az előző két egyenlőtlenséget összetéve
:<math>\Big||x|{-}|y|\Big| \le |x{+}y| \le |x|{+}|y|.</math>
''y'' helyére -''y''-t téve
:<math>\Big||x|{-}|y|\Big| \le |x{-}y| \le |x|{+}|y|.</math>
Összefoglalva
:<math>\Big| |x|{-}|y|\Big| \le |x{\pm}y| \le |x|{+}|y|</math> für alle <math>x,\,y\in\R.</math>
== Forrás ==
* Obádovics J. Gyula: Matematika
| |||